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A = Integral zwischen y-Achse,Tangente und Normale gesucht !
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> A = Integral zwischen y-Achse,Tangente und Normale gesucht !
 
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mignon
Gast






BeitragVerfasst am: 25 März 2005 - 18:44:28    Titel: A = Integral zwischen y-Achse,Tangente und Normale gesucht !

Habe Probleme mit folgender Aufgabe:

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Die Tangente im Kurvenpunkt P(ln2;0)schließt mit der zugehörigen Kurvennormalen und der y-Achse ein Flächenstück ein. Berechne diese Fläche (A).

gegeben ist die Kurve mit f(x)=e²*(2-e²)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


Meine bisherigen Lösungsversuche haben ergeben:

- P ist Schnittpkt von Tangente und Normale.
- T(x)=[2*e^x-e^(2x)]*[1-(x/ln2)]
- N(x)=[ln2/(2*e^x-e^(2x))]*(x-ln2)

- Ich hab ne schöne Skizze hier zu hause, aber kann die leider nicht hier reinpacken. trotzdem müssten folgende Regeln helfen:

- A= |Integral von T(x) (über 0 bis ln2)| + |Integral von N(x) (über 0 bis ln2)|

- bzw. A= Integral von ( T(x)-N(x) ) über 0 bis ln2, da T(x)>N(x) sein müsste.


vielleicht helfen diese angaben und sind auch verständlich genug.
(Wer mir den ganzen Quatsch + richtiger Lösung vermitteln kann, vor dem ziehe ich armer Abiturient den Hut!!).

Gruß und dank, Mignon
mignon
Gast






BeitragVerfasst am: 25 März 2005 - 19:18:18    Titel: Die Funktion der Kurve: f(x)=e^x*(2-e^(x) )

Upps:

hatte oben: f(x)=e²*(2-e²) geschrieben , ist falsch!

Die Funktion der Kurve:
__________________

f(x)=e^x*(2-e^(x) )
mignon
Gast






BeitragVerfasst am: 25 März 2005 - 19:39:35    Titel: vielleicht hilft folgende Graphik

Nur f(x) ist originalgetreu mit Programm erstellt.
N und T sind per "Hand" ungefähr eingetragen!:


aldebaran
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 16:24:44    Titel:

Hi,
f(x) = e^x*(2-e^(x)) = 2e^x - e^(2x)
f'(x) = 2e^x - 2e^(2x)
f''(x) = 2e^x - 4e^(2x)
f'''(x) = 2e^x - 8e^(2x)

Steigung der Tangente
m_t = f'(x=ln2) = 2e^(ln2) - 2e^(2ln2)
m_t = 2*2 - 2[e^(ln2) * e^(ln2)]
m_t = 2*2 - 2*[2*2] = 4 - 8 = -4

Steigung der Normalen: m_n = -1/m_t = -1/-4 = +0,25

Gleichung der Normalen geht durch die Nullstelle von f(x): y = 0,25*(ln2) +b ==> b = -0,25*ln2

Gleichung der Normalen lautet damit: y = 0,25*x - 0,25*ln(2)

Gesuchte Fläche A_ges = |A_1| + |A_2|; (Beträge addieren !)

A_1 Fläche unter der Geraden (= Tangenten) im Intervall von I = [0; ln(2)]
A_2 Fläche über der Geraden (= Normalen) im gleichen Intervall = Dreiecksfläche


Nachtrag:
Bilder einbauen funktioniert leider nicht, da aber die Lösung, wie ich grad sehe, schon existiert, kann ich mir das Weitere sparen !
Tschüss dann !


Zuletzt bearbeitet von aldebaran am 26 März 2005 - 16:43:17, insgesamt 4-mal bearbeitet
Andromeda
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 16:28:23    Titel:

@aldebaran

Diese Aufgabe ist schon seit längerer Zeit gelöst.

http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/18326,0.html

Gruß
Andromeda
mignon
Gast






BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 20:17:25    Titel: Danke !

Danke aldebaran , auch deine Erklärung hat mir geholfen !

Hatte hier nochmal das gleiche Thema eröffnet, weil im anderen Forum, das eigentliche Thema ein anderes war und ich anfangs nicht wusste, ob dadurch jemand antwortet.

gruss, mignon
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