Berechne folgende Grenzwerte...ich steh aufm schlauch

KyleKatarn · Senior Member Anmeldungsdatum: 15.04.2006 Beiträge: 616

Moin
bin gerade mitten in der Prüfungsvorbereitung und habe gerade einen Punkt erreicht bei dem ich vollkommen auf dem schlauch stehe.
ich kann leider nicht wirklich sagen was ich machen würde. habe verschiedenstes ausprobiert aber es hat nicht den gewünschten erfolg gebracht...
Die Aufgabe lautet:

Man berechne folgende Grenzwerte:

1.) lim (n->inf) sum(k=0,n) 1/(2^(3k)

2.) lim (n->inf) sqrt(n^6 + 2*n^3) - n^3

3.) lim (n->inf) sum(k=1,n) (k^2 + 10)/(3k^4 - k)

ich brauch wahrscheinlich nur irgendwie einen kleinen denkanstoß für den anfang, dann wird es schon gehen. aber genau dieser kleine kick fehlt mir grad noch.
hoffe mir kann jemand helfen...
(das war mal ne klausuraufgabe von vor einem jahr übrigens)

Calculus · Verfasst am: 06 Apr 2008 - 11:08:01 Titel:

1) Potenzgesetze

2) Multipliziere mit (sqrt(n^6 + 2 * n³) + n³) / (sqrt(n^6 + 2 * n³) + n³), anschließend Satz von L'hospital.

3) Vllt. Partialbruchzerlegung? Hier bin ich überfragt.

mathefan · Verfasst am: 06 Apr 2008 - 11:25:44 Titel:

Calculus · Verfasst am: 06 Apr 2008 - 11:27:45 Titel:

mathefan · Verfasst am: 06 Apr 2008 - 11:40:25 Titel:

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hi Calculus

KyleKatarn · Senior Member Anmeldungsdatum: 15.04.2006 Beiträge: 616

ok also wenn bei der 2. das ergebnis 1 ist hat mir das alles schon sehr geholfen...falls nicht hakts irgendwo *g*

bei der 1 bin ich irgendwie immernoch genauso schlau wie vorher. was müsste denn in etwa rauskommen?
die wollen da doch einen konkreten zahlenwert als antwort haben oder nit?

PS: bei der 3. hab ich übrigens falsch abgeschrieben. da lautet die aufgabe nicht Grenzwertberechnung sondern: "Existiert der folgende Grenzwert?"

mathefan · Verfasst am: 06 Apr 2008 - 12:04:02 Titel:

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bei der 2. das ergebnis 1 ← Very Happy

ist richtig...
.

KyleKatarn · Senior Member Anmeldungsdatum: 15.04.2006 Beiträge: 616

ok. jedenfalls schonmal vielen dank für die hilfe bei der 2!!! an sich wars mir klar mit dem erweitern, aber das ausklammern hab ich irgendwie net gesehen

summenformel geometrischer reihen...naja... so n bisschen LOL aber jetz wo du es sagst: ich hab mir damals wohl in der klausur mit bleistift "geom. Reihe" hingekritzelt...

genau so hatte ich mir es schon aufgeschrieben aber so wirklich geholfen hat es nicht.

zur 3.: an sich käme ja das quotientenkriterium in frage oder? ok es führt hier net zum erfolg weil ...=1 rauskommt aber is ja wurscht ^^
dann denk ich mal wirds irgendwie über majorantenkriterium laufen (?)

KyleKatarn · Senior Member Anmeldungsdatum: 15.04.2006 Beiträge: 616

also dass die aufgabe 1 konvergiert ist mir durch die geometrische reihe schon klar, weil

sum(k=0,inf) q^n konvergiert für |q|<1, n>1

stimmt doch so oder?

halt kommando zurück..is ja genau umgekehrt ne?

KyleKatarn · Senior Member Anmeldungsdatum: 15.04.2006 Beiträge: 616

ah ich glaub ich hab das ergbnis
8/7 müsste es sein wenn ich mich nicht irre

ich weis zwar jetzt nicht wirklich genau wie aber man muss wohl die summenformel für die unendliche geometrische reihen verwenden mit |p|<1
aber warum genau ist p <1 in dem fall? irgendwie komm ich nicht auf die darstellung als geom. reihe...

also die art: sum(i=0, n) p^i = (1-p^(n+1)/(1-p)
müsste es ja sein. was ist in dem fall p und was ist i??
also anscheinend ist p=1/8...aber warum??

mathefan · Verfasst am: 06 Apr 2008 - 13:22:07 Titel:

KyleKatarn · Senior Member Anmeldungsdatum: 15.04.2006 Beiträge: 616

gut ich glaube mir ist es inzwischen klar

wenn ich die summe ausschreibe:

1 + 1/8 + 1/64 + 1/512 + ... + 1/2^3k

dafür kann ich auch schreiben

1/8^0 + 1/8^2 + 1/8^3+ ... +1/8^k

das ist das gleiche wie

(1/8 )^0 + (1/8 )^2 + ... + (1/8 )^k

daher:
sum(k=1,n) (1/8 )^k

(gut das hätte man auch schneller haben können aber ich will mein armes gehirn ja nicht überfordern und nur in dieser hirnrissigen ausführlichkeit kann ichs mir erklären^^)
das ist ne geometrische reihe mit p=1/8
und diese konvergiert nach der summenformel für unendliche reihen nach
1/(1-p)
1/(1-1/8 ) = 1/(7/8 )=8/7

so müsste es jetzt richtig sein ne? eigentlich viel zu einfach LOL
jedenfalls vielen dank für die hilfe

Hirmick · Verfasst am: 06 Apr 2008 - 15:51:19 Titel:

@mathefan,calculus: Wärs nicht einfacher die Umformung