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Parabel und zwei Tangenten -->Dreiecksberechnung.....
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Parabel und zwei Tangenten -->Dreiecksberechnung.....
 
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The-Mick
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Anmeldungsdatum: 26.03.2005
Beiträge: 207

BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 15:42:07    Titel: Parabel und zwei Tangenten -->Dreiecksberechnung.....

Hallo,

in meinem Buch (Klasse 11 Gymnasium) steht folgende Aufgabe:

"An dem Graphen der Funktion x -> x² sind zwei Tangenten gezeichnet. Sie schneiden die X-Achse unter einem Winkel von 30° und 60°. Zusammen mit der X-Achse bilden sie ein Dreieck. Berechnen Sie dessen Flächeninhalt"

Wir haben erst mit dem Lehrer ein Plan aufgestellt wonach ich für die Steigungen der Tangenten
m=_/3 ---------------(_/=Wurzel)
und
m=(_/3)/3
rausbekomme.
Dann leite ich x² ab und erhalte 2x als Ableitung.
Diese Ableitung soll ich nun mit den Steigungen gleichsetzen um die X-Koordinaten rauszubekommen. Wenn ich dann die X-Koordinaten in die Ableitung Y=2x einsetze erhalte ich die Y-Koordinaten.

So nun soll ich mit der Punkt-steigungs-Form die gleichungen der Tangenten ermitteln. Da bekommm ich dann

Y=(_/3)/3x-1/12 und

Y=_/3x-3/4

raus. Wenn ich das aber zum Beispiel bei matheAss als funktion eingebe, liegen die geraden nicht als tangente auf der Parabel.
Was mache ich falsch???
Bitte um Hilfe oder eine gute Erklärung, bin dankbar um alles.

MfG

Alex
Embarassed
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 16:31:32    Titel:

Die Aufgabenstellung ist nicht ganz eindeutig. Sind die Tangenten auf verschiedenen Seiten der y-Achse oder auf der gleichen Seite (s. Bild, die Winkel sind nicht maßstabsgerecht).



Gruß
Andromeda
sambalmueslie
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Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 16:39:26    Titel:

Also
f(x) = x^2
f'(x) = 2x soweit ok

Die Steigungen:
m1 = tan 60°
m2 = tan 30°
m1 = wurzel(3)
m2 = wurzel(3)/3 auch ok

Die Berührpunkte:
Tangente 1:
f'(x) = m1 = 2x = wurzel(3)
x = 1/2*wurzel(3)

f(x) = (1/2wurzel(3))^2
f(x) = 3/4
P(1/2*wurzel(3) |(3/4))
y = m1*x + b

3/4 = 1/2*wurzel(3) * wurzel(3) + b
3/4 = 3/2 + b
- 3/4 = b
y = wurzel(3)x- 3/4

Tangente 2:
f'(x) = m1 = 2x = wurzel(3)/3
x = 1/6*wurzel(3)

f(x) = (1/6wurzel(3))^2
f(x) = 3/36 = 1/12
P(1/6*wurzel(3) |(1/12))

1/12 = 1/6*wurzel(3) * 1/3 *wurzel(3) + b
1/12 = 1/6 + b
-1/12 = b
y = wurzel(3)/3x - 1/12

Aufgrund von Symmetrie kann man die Steigung auch mit -1 multiplizieren. Oder Andromeda???
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 16:54:53    Titel:

Danke sambalmuesli,

jetzt weiß ich auch, was diese komischen Zeichen in den Formeln

Y=(_/3)/3x-1/12 und

Y=_/3x-3/4

bedeuten.

Aber immer noch ist es meiner Meinung nach nicht eindeutig in der Aufgabenstellung. Es könnte auch so aussehen (die Tangenten liegen auf verschiedenen Seiten dre y-Achse:




Jetzt bring es zu Ende und berechne noch die Fläche . Laughing

Gruß
Andromeda
sambalmueslie
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Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 17:53:13    Titel:

Zitat:
Jetzt bring es zu Ende und berechne noch die Fläche .

Jetzt versteh ich's auch. Das mit der Fläche hab ich doch glatt überlesen.
Laughing

Variante 1:
y1 = wurzel(3)x- 3/4
y2 = wurzel(3)/3x - 1/12

schnittpunkt:
wurzel(3)x- 3/4 = wurzel(3)/3x - 1/12
0 = 2/3 + wurzel(3)/3x - wurzel(3)x
0 = 2/3 - 2wurzel(3)/3x
2wurzel(3)/3x = 2/3
x = 2/3 * 3/2wurzel(3) = 1/wurzel(3)

Nullstelle y1:
y1 = wurzel(3)x- 3/4
3/4 = wurzel(3)x
x1 = 3/(4wurzel(3))
Nullstelle y2:
y2 = wurzel(3)/3x - 1/12
1/12 = wurzel(3)/3x
x2 = 1/(4W(3))

Soweit stimmts wenigstens noch.
Und der Vollständigkeit halber:
A = A1 + A2

A1 = integral [1/(4W(3)) bis 3/(4wurzel(3))] wurzel(3)/3x - 1/12 dx
Stammfunktion: W(3)/6x^2 - 1/12x

A1 = [W(3)/6*9/48 - 1/12*3/(4wurzel(3))]-[W(3)/6*1/48 - 1/12*1/(4W(3))]

A1 = [1/(32W(3))] - [-1/(96W(3))]
A1 = 1/(24W(3)) = 0,024FE

A2 = integral [3/(4wurzel(3)) bis 1/W(3)] -2W(3)/3 * x + 2/3 dx
Stammfunktion: -W(3)/3 x^2 + 2/3 x

A2 = 1/(48W(3))

A = A1 + A2
A = 1/(16W(3)) = 0,03608439182 Wink


Zuletzt bearbeitet von sambalmueslie am 27 März 2005 - 00:46:05, insgesamt 2-mal bearbeitet
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
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BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 18:29:15    Titel:

Die Lösung lautet:



Gruß
Andromeda
The-Mick
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Anmeldungsdatum: 26.03.2005
Beiträge: 207

BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 19:50:16    Titel:

Andromeda hat folgendes geschrieben:
Die Aufgabenstellung ist nicht ganz eindeutig. Sind die Tangenten auf verschiedenen Seiten der y-Achse oder auf der gleichen Seite (s. Bild, die Winkel sind nicht maßstabsgerecht).



Gruß
Andromeda


Ne genau so sieht die Skizze aus.

An alle anderen:

Danke für die schnelle Hilfen Very Happy
The-Mick
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Anmeldungsdatum: 26.03.2005
Beiträge: 207

BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 19:54:14    Titel:

sambalmueslie hat folgendes geschrieben:
Also


y = wurzel(3)x- 3/4


y = wurzel(3)/3x - 1/12


genau das hatte ich auch raus, das sin aber laut Matheass keine Tangenten

Eine liegt ganz knapp auf, ist aber, wenn man genau hinschaut, ein Sekante und eine schneidet, oder Tangiert garnet.
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 20:00:23    Titel:

The-Mick hat folgendes geschrieben:

..., das sin aber laut Matheass keine Tangenten


Das ist Unsinn.

Setz mal die Werte ein, dann siehst du, dass Tangenten und Kurve sich berühren.

Gruß
Andromeda
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 20:12:20    Titel:

Hier mal die Berechnung für die 1. Tangente.



Gruß
Andromeda
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