Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Betrag eines Vektors allgemein
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Betrag eines Vektors allgemein
 
Autor Nachricht
_Christoph
Gast






BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 18:50:00    Titel: Betrag eines Vektors allgemein

Hi.

Wenn ich eine beliebige Basis des R^3 G={g_i}, i=1..3 habe, und einen Vektor a, so kann ich a in G beschreiben durch

a=sum(a_i*g_i,i=1..3), oder mit Summenkonvention nach Einstein als
a=a_i*g_i

Wie kann ich davon ausgehend den Betrag (euklidische Norm) des Vektors errechnen?

Gruß
Christoph
algebrafreak
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 18:57:21    Titel:

Hmm, allgemein, hmm. Tue es dir nicht an. Es ist neben der Überflüssigkeit auch noch sehr anstrengend Smile

Meinst Du explizit die Umformung |G^(-1) v| mit G der entsprechende Basisiso?
_Christoph
Gast






BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 22:52:13    Titel:

>>Meinst Du explizit die Umformung |G^(-1) v| mit G der entsprechende Basisiso?

Tut mir leid, den Satz versteh ich nicht. Bin nur ein kleiner Ingenieursstudent, kein Mathematiker.

Die Aufgabe mit dem Betrag (war mal Klausuraufgabe) lautet im original:

"Geben Sie den Betrag eines Vektors bezüglich eines schiefwinkligen Koordinatensystems an. Was fällt auf?"

Auffallen soll wohl die Invarianz des Betrages. Aber wie zeig ich das?

Gruß
Christoph
algebrafreak
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 26 März 2005 - 23:26:13    Titel:

Zitat:
"Geben Sie den Betrag eines Vektors bezüglich eines schiefwinkligen Koordinatensystems an. Was fällt auf?"

Auffallen soll wohl die Invarianz des Betrages. Aber wie zeig ich das?


Ich weiß nicht ganz, was ein schiefwinkliges Koordinatensystem ist. Wenn man in R als R-Vektorraum eine Basis (1/3) nimmt. Ist die schiefwinklig? Dann ist bezüglich dieser Basis der normale Einheitsvektor ja (3), da man 1/3 drei mal nehmen muß um 1 zu bekommen. Seine "Länge" direkt ausgerechnet ist aber 3 und nicht 1. Die "Basistransformation" ist die Abbildung

G(v) = 1/3*v

D.h. da ist irgendo ein Hund begraben.

Es gibt einen Begriff, der heißt "Isometrie" metrischer (bzw. normierter) Räume. Das ist eine Abbildung, die die Metrik (bzw. Norm) erhält. Wie man oben sieht, nicht jeder Basisisomorphismus ist eine Isometrie. Isometrische Basisisomorphismen werden durch Orthonormalbasen Beschrieben, glaube ich. Die schauen hässlich aus, mit Wurzeln usw.

Wenn Du den obigen Begriff genauer spezifizierst, kann ich auch genauer antworten.
Gast







BeitragVerfasst am: 27 März 2005 - 00:51:41    Titel:

Erstmal danke für deine Bemühungen Smile

Ein schiefwinkliges System wäre ein System, das nicht orthonormiert ist.
Beispiel:

Kanonische Standardbasis des R^3 ist {e1,e2,e3}

Ein schiefwinkliges System wäre z.b. {g1,g2,g3} mit g1=e1, g2=e1+e2, g3=e1+e3

Hintergrund ist die Beschreibung von Kristallsystemen (die nur selten kubisch sind).

Angenommen, ich habe Vektoren, die sich in einem beliebigen Koordinatensystem beschreiben lassen durch

A=a1*g1+a2*g2+a3*g3=a_I*g_i
B=b1*g1+b2*g2+b3*g3=b_I*g_i

(Großbuchstaben für kontravariante Größen, Kleinbuchstaben für kovariante).

Wie berechne ich jetzt allgemein A*B?

Durch einsetzen komm ich zu

A*B=a_I*b_J*g_i*g_j=a_I*b_J*delta(i,j)

Dieses delta(i,j) wird in meinem Skript als Metrikkoeffizient bezeichnet. Leider ist das Skript nicht besonders ausführlich ("Das haben Sie ja alles schon in der Schule gemacht" Rolling Eyes ). Wie komm ich denn von da weiter. Oder wars das schon?

Gruß
Christoph
algebrafreak
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 27 März 2005 - 01:09:57    Titel:

Hmm. Ich würde gerne helfen, aber ich bin durch die eingeführten Notationen und Bezeichnungen, die anscheinend sehr fachspeziefisch sind, total verwirrt. Ich weiß, Einstein war gut, aber die Schreibweise v = a_i g_i macht für mich nur für ein festes i einen Sinn. Man verzeihe mir die Inflexibilität. Wenn wir zu einem Ergebnis kommen sollen, so müssen wir die selben Begriffe verwenden Smile

Eine schiefwinklige Basis ist nicht orthonormiert. D.h. irgend ein Scheiß. Das ist ok. Jetzt die entscheidende Frage:

Wie ist die Länge (oder Norm) bezüglich dieser Basis definiert?

- Koordinatenweise? D.h. man nehme die Koordinaten a_i und berechne sqrt(a_0^2+...+a_4^2).

- Basisorientiert? D.h. bilde die Koordinaten auf die Standardbasis und rechne die Eukl. Norm.

- Anders?

Für koordinatenweise Länge ist die Norm definitiv nicht basisinvariant.
_Christoph
Gast






BeitragVerfasst am: 27 März 2005 - 01:39:18    Titel:

Ich musste mich auch schwer überwinden, die Einstein-Notation zu akzeptieren, aber sie erspart ungemein viel Schreibarbeit (leider auf Kosten der Denkarbeit Sad ). Kannst dir ja noch ein Summenzeichen vor die a_I*g_i denken. Nur, wenn ich das ausschreibe, wirds arg unübersichtlich, vor allem wenn man keinen Formeleditor zur Hand hat.

Oben ist mir übrigens ein Tippfehler unterlaufen. Das delta(i,j) ist falsch, da muss ein g(i,j) hin. Das ist dann auch der Metrikkoeffizient.

A*B=a_I*b_J*g_i*g_j=a_I*b_J*g(i,j) wäre demnach eine Doppelsumme über i und j, jeweils von 1 bis 3.

Ich schreibs mal aus:
A*B=
a_1*b_1*g(1,1)+a_1*b_2*g(1,2)+a_1*b_3*g(1,3)
+a_2*b_1*g(2,1)+a_2*b_2*g(2,2)+a_2*b_3*g(2,3)
+a_3*b_1*g(3,1)+a_3*b_2*g(3,2)+a_3*b_3*g(3,3)


Als Norm wähle ich die intuitive, weil physikalisch sinnvollste, also die euklidische Norm. Das, was in der kanonischen Basis einfach
|A|=sqrt( (a1)^2 + (a2)^2 + (a3)^2 ) ist. Also die geometrische Länge, die ich mit nem Maßband messen könnte. Die muss auf jeden Fall invariant sein.

Für die euklidische Norm und das oben genannte Skalarprodukt gilt doch
|A|^2=A*A

Mit obigem Skalarprodukt also

A*A=a_I*a_J*g_i*g_j=a_I*a_J*g(i,j)

g(i,j)=g_i*g_j ist ja das Skalarprodukt zweier Basisvektoren (im orthonormierter Basis wäre g(i,j) das Kronecker-Delta mit delta(i,j)=1 für i=j und 0 sonst).

Kann ich das jetzt noch irgendwie vereinfachen? Irgendwie muss ich ja die Invarianz der Länge 'herbeizaubern'. Oder muss ich einen anderen Ansatz wählen?

Gruß
Christoph
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Betrag eines Vektors allgemein
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum