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Vollständige Induktion zur Bestimmung von Monotonie
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Gruwe
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Anmeldungsdatum: 24.03.2004
Beiträge: 5286
Wohnort: Saarbrücken

BeitragVerfasst am: 14 Apr 2008 - 19:51:06    Titel: Vollständige Induktion zur Bestimmung von Monotonie

Hallo,

wir haben heute in der ersten Mathestunde zum Semesterbeginn das Thema Zahlenfolgen und -reihen behandelt.
Damit man die Konvergenz einer Folge bestimmen kann, ist es ja wichtig zu wissen, ob die Folge monoton steigend/fallend ist.
Als ein Verfahren dies zu bestimmen, wurde uns die Vollständige Induktion genannt, die wir leider (zumindest bisher) nur oberflächlich behandelt haben.

Nun habe ich mich aber trotzdem mal näher damit auseinandergesetzt und als Übung versucht eine alternierende Zahlenfolge auf Monotonie zu untersuchen.
Da ich weder sicher bin, ob ich die vollständige Induktion verstanden habe noch dass ich Aufgabe richtig gemacht habe, würde ich euch mal bitte, kurz drüberzuschauen:

Seite 1
Seite 2

Auf der 2. Seite denk ich, dass es falsch ist, da die Ungleichung in der letzten Zeile ja für alle i Element von N richtig wäre, was bedeuten würde, dass die Folge monoton fallend wäre, was ja aber nicht sein kann!

Bitte um eine kurze Erläuterung, Danke! Smile
fas
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Anmeldungsdatum: 26.05.2005
Beiträge: 2086

BeitragVerfasst am: 14 Apr 2008 - 20:50:46    Titel:

Ich habe keine Zeit, alles durchzuschauen, aber mir ist folgendes aufgefallen: Die Folge ist zwar nicht monoton fallend, aber absolut monoton fallend (was wahrscheinlich interessanter ist, da die Folge alternierend ist). Das heisst: abs((-1)^(i+1)/i) > abs((-1)^(1+2)/(i+1)) für alle i element N.

Gruss
Gruwe
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Anmeldungsdatum: 24.03.2004
Beiträge: 5286
Wohnort: Saarbrücken

BeitragVerfasst am: 14 Apr 2008 - 21:00:50    Titel:

Hallo,

danke erstmal für deine Antwort!

Geh ich recht in der Annahme, dass mit absolut monoton fallend gemeint ist, dass der Betrag fallend ist?
fas
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Anmeldungsdatum: 26.05.2005
Beiträge: 2086

BeitragVerfasst am: 14 Apr 2008 - 21:02:45    Titel:

Ja.
Gruwe
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Anmeldungsdatum: 24.03.2004
Beiträge: 5286
Wohnort: Saarbrücken

BeitragVerfasst am: 14 Apr 2008 - 21:08:43    Titel:

Ah gut, danke dir! Das hilft mir schonmal weiter.

Wir haben heute festgehalten, dass eine beschränkte Folge, die monoton fallend/steigend ist, konvergiert!

Nun fällt mir auf, dass man diesen Satz eigentlich erweitern müsste, dass die Folge (auch) absolut monoton fallend/steigend sein kann, denn die vorliegende Folge ist ja beschränkt und zwar nicht monoton fallend, sondern absolut monoton fallend, konvergiert jedoch gegen 0.

Kann man das so sehen?
Mindworm
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Anmeldungsdatum: 04.11.2007
Beiträge: 1064

BeitragVerfasst am: 14 Apr 2008 - 22:43:30    Titel:

Zitat:

Nun fällt mir auf, dass man diesen Satz eigentlich erweitern müsste, dass die Folge (auch) absolut monoton fallend/steigend sein kann, denn die vorliegende Folge ist ja beschränkt und zwar nicht monoton fallend, sondern absolut monoton fallend, konvergiert jedoch gegen 0.

Kann man das so sehen?

Gegenbeispiel:
a_n=(-1)^n+(-1)^n*e^(-n)
Diese Folge ist beschränkt, absolut fallend, konvergiert jedoch nicht gegen einen Grenzwert (aber die zwei Einzelfolgen konvergieren gegen 1 bzw. -1)
Delphin08
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Anmeldungsdatum: 15.04.2008
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 15 Apr 2008 - 20:13:07    Titel:

Hallo ! und wie beweise ich die vollständige Induktion von (2^n+1)^n= ?

danke im vorraus![/list]
fas
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Anmeldungsdatum: 26.05.2005
Beiträge: 2086

BeitragVerfasst am: 16 Apr 2008 - 14:03:59    Titel:

Delphin08 hat folgendes geschrieben:
Hallo ! und wie beweise ich die vollständige Induktion von (2^n+1)^n= ?


1. Man beweist die vollständige Induktion nicht.
2. (2^n+1) gleich was?
Delphin08
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Anmeldungsdatum: 15.04.2008
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 17 Apr 2008 - 22:23:23    Titel:

n
Produktzeichen 4^i = (2^n+1)^n
i=1


Hoffe jetzt ist alles da!!

danke für die Aufmerksamkeit!!
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