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Aufgaben mit phi/ Phi (goldener Schnitt)
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Windrose
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Anmeldungsdatum: 15.04.2008
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 15 Apr 2008 - 15:46:07    Titel: Aufgaben mit phi/ Phi (goldener Schnitt)

Hallo zusammen,

Vielleicht kann mir hier jemand einige Ansätze vermitteln, wie ich diese Aufgaben lösen könnte? Ich stehe leider total auf der Leitung und habe keine Ahnung, wie ich es überhaupt anpacken soll... Herzlichen Dank im Voraus!

1.
Weise nach, dass phi^2 + phi = 1

2.
Weise nach, dass Phi^2 + phi = 2 Phi

3.
Weise nach, dass Phi^2 - phi = 2

4.
Weise nach, dass 1/phi = Phi bzw. 1/ Phi = phi

*grübel* Ich verstehe leider nur Bahnhof *seufz*. Bin daher seeeehr dankbar über jeden Ansatz!!! Embarassed Embarassed Embarassed
Windrose
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Anmeldungsdatum: 15.04.2008
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 15 Apr 2008 - 16:05:29    Titel:

Okay, die erste habe ich - man sollte von dem richtigen Ansatz anpacken, dann ist's ja ganz einfach Wink Hatte gerade einen Gedankenblitz und nun gings sehr gut. Mal schauen ob die andern auch klappen...
Windrose
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Anmeldungsdatum: 15.04.2008
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 15 Apr 2008 - 17:29:00    Titel:

Ich schon wieder Rolling Eyes

Meine Lösung war doch falsch, befürchte ich?? Ich habe einfach die Formeln für phi bzw. Phi eingegeben und dann so aufgelöst die Gleichung, worauf ich bei Aufgabe 1 dann am Schluss auf 1 = 1 kam, was die Behauptung doch beweist, oder? Embarassed

Aber nun meinte mein Bruder, das sei falsch... Sad Und ich weiss leider bei bestem Willen nicht, wie ich die Aufgabe noch anpacken könnte...
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 15 Apr 2008 - 17:30:39    Titel:

Sofern du nur Äquivalenzumformungen durchgeführt hast, genügt dies zum Beweis.

Wie sieht denn deine Rechnung aus?
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 16 Apr 2008 - 10:16:26    Titel:

Zunächst waren "Phi" (Φ = ½+½·√5) und "phi" (φ = -½+½·√5) so zu finden, daß sie zu den zu beweisenden "Sätzen" paßten. Andererseits sollte dennoch die quadratische Gleichung "x²-x-1 = 0" aus http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt als Grundlage dienen.
Code:
             
              x²-x-1 = 0              →Φ := x1 =  ½·(1+√5), -φ := x2 = ½·(1-√5)
                                              → Φ+φ = √5

die quadratische Gleichung in faktorisierter Form mit Hilfe der beiden Nullstellen ausgedrückt, wieder ausmultipliziert und Koeffizientenvergleich
      (x-Φ)·(x+φ) = x² +(φ-Φ)·x -Φ·φ   → Φ-φ = 1,  Φ·φ = 1

die quadratische Gleichung mit Hilfe der beiden Nullstellen ausgedrückt                                                                   
              Φ²-Φ-1 = 0   →Φ² = 1+Φ
          1. φ²+φ-1 = 0  → φ²+φ = 1

mit den zuvor gewonnenen Beziehungen können die restlichen drei "Sätze" hergeleitet werden:
          2. Φ²+φ = 1+Φ +φ = 1+√5 = 2·Φ
          3. Φ²-φ = 1+Φ -φ = 1 +1 = 2
          4. Φ·φ = 1 →Φ = 1÷φ,   φ = 1÷Φ
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