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Kapazität Entladevorgang
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Timo_P
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Anmeldungsdatum: 26.10.2007
Beiträge: 268

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2008 - 10:21:56    Titel: Kapazität Entladevorgang

Hallo,
Würd gern Ergebnisse/Rechenwege abgleichen.

Die Aufgabe:

Parallel an eine reale Stromuelle ist eine Kapazität geschaltet. Parallel kann über einen Schalter S ein Widerstand parallel zur Kapazität geschaltet werden.

Werte:

R_Innen = 30 kOhm
R = 10 kOhm
C = 200 uF
I_0 = 400 uA


Meine erste Überlegung war es die Stromuelle in eine Spannunguelle umzuwandeln. Damit ergibt sich:

U_0 = I_0 * R_Innen
U_0 = 400 * 10^-6 * 30*10^3
U_0 = 12 V

Nun ist der Schalter bei t < 0 offen und wird zum Zeitpunkt t = 0 geschloßen.

a) Wie groß ist die Spannung U_C (t=0)?

Antwort:

U(t) = U_0 * e^(-t/Tau)
U(t) = U_0 * 1
U(t) = U_0
U(t) = 12 V

Wie groß ist die Spannung U_C (t -> unendlich) ?

Antwort:

U(t) = U_0 * e^(-t/Tau)
U(t) = U_0 * 0
U(t) = 0 V

b) Stellen Sie die Differenzialgleichung in U_C(t) auf.

Antwort:

u(t) = - R * i(t)
0 = u(t) + R * i(t)
0 = u(t) + R * C * Q(t)
0 = u(t) + R * C * du/dt
0 = Tau * du/dt + u(t)

du/u = dt/Tau

ln |u| = - t/Tau + k

ln |u/k'| = - t/Tau

u(t) = k' e^(-t/Tau)
u(t) = U_0 * e^(-t/Tau)

Ist dass so richtig?
isi1
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Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 7387
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BeitragVerfasst am: 21 Apr 2008 - 11:41:58    Titel:

Ich habe jetzt das Schaltbild nicht, Timo,

aber wenn die 10k eingeschaltet werden, müsste dann nicht nach einiger Zeit die Spannung 12V*10k/(10k + 30k) = 3V sein?
Timo_P
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Anmeldungsdatum: 26.10.2007
Beiträge: 268

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2008 - 12:04:47    Titel:

Ich würde sagen, dass der Zusammenhang mit e^-t/Tau gilt, dass die Spannung nach t = unendlich 0 sein muss ... gibt für mich sinn, da wenn ich einen Kondensator entlade über t = unendliche Dauer, dann muss er ja irgendwann "leer" sein, also U = 0
isi1
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Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 7387
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2008 - 12:06:43    Titel:

Dass das richtig ist, Timo, glaube ich nur, wenn die Quelle dann abgeschaltet ist, denn wenn die Quelle weiterhin Strom liefert, wird der 10k-Widerstand nie fertig. Wink
Martin67
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Anmeldungsdatum: 16.12.2006
Beiträge: 1389

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2008 - 18:02:10    Titel:

Hallo,

betrachten wir es nochmal Timo:

Zum Zeitpunkt t0 ist die Kondensatorspannung bei 12V, da sind wir uns einig und das ergibt sich ja bereits aus der Herleitung der Ersatzspannungsquelle aus der Stromquelle, die Du gemacht hast.

Zum Zeitpunkt t0 schalten wir den Schalter ein. Nehmen wir mal an, es wäre kein Kondensator vorhanden dann hätten wir eine Spannungsquelle mit Ri von 30k, belastet mit 10k. Daraus können wir doch wieder eine Ersatzspannungsquelle bilden Uers=12V/(40k)*10k =3V. Rers= 10k|| 30k = 7,5k Wir sind immer noch bei t0 und denken uns unseren mit 12V aufgeladenen Kondensator wieder in die Schaltung. Also an unsere Ersatzspannungsquelle (3V/7,5k) angehängt.

Machen wir es vollständig und stellen für den Fall die DGL auf:

dUc/dt*C=i(t)

i(t)= (Uc(t)-Uers)/Rers

(Uc(t)-Uers)/Rers=dUc/dt*C

(Uc(t)-Uers)/(Rers*C)dt=dUc

∫1/(Rers*C)dt=∫1/(Uc(t)-Uers)dUc

t/(Rers*C)+konst=-LN(Uc(t)-Uers)

Uc(t)=e^(-t/(Rers*C))*konst+Uers


mit Uc(0)=12V erhalten wir für konst=Uc(0)-Uers=9V

Uc(t)=e^(-t/(Rers*C))*(Uc(0)-Uers)+Uers

Eingesetzt
Rers=7,5k
Uers=3V
Uc(0)=12V
t=∞ ergibt Uc(∞)=3V

Damit wäre die Aussage von Isi bewiesen, wenn ich mich nicht verhaut habe Very Happy

Einverstanden?
Martin67
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Anmeldungsdatum: 16.12.2006
Beiträge: 1389

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2008 - 18:16:20    Titel:

Und hier noch der Funktionsgraph, dank Arndt Brünner

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