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Basis eines Vektors und Bestimmung von Einheitsvektoren
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Basis eines Vektors und Bestimmung von Einheitsvektoren
 
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bhagui
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Anmeldungsdatum: 28.04.2008
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2008 - 20:17:18    Titel:

ok ich geh es nun folgendermaßen an:

c = ( 0, 0, 1, 0) und d=(0,0,0,1)

α + 2β + 0γ + 0δ = 0
2α + β + 0γ + 0δ = 0
α + β + γ + 0δ = 0
5α + 2β + 0γ + δ = 0

einzige lösung ist α = β = γ = δ = 0

0 * a + 0 * b + 0 * c + 0 * d = 0

0 = 0

Naja, immernoch das gleiche, obwohl die Vektoren lin. unabhängig sein sollten.
Was mache ich falsch?
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2008 - 20:20:49    Titel:

bhagui hat folgendes geschrieben:
einzige lösung ist α = β = γ = δ = 0


Eben das musst du ja zeigen. Dass dies eine Lösung ist, ist ja offensichtlich. Aber ist es auch die einzige? Wenn du das nachweisen kannst, dann sind die Vektoren linear unabhängig.
bhagui
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Anmeldungsdatum: 28.04.2008
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2008 - 21:41:48    Titel:

Danke erstmal dafür Smile

Ich habe noch eine andere Frage, möchte dafür aber keinen neuen Thread erstellen:

Es ist ein R^4 VR gegeben und 5 Vektoren v1 bis v5, nun soll ich eine maximal linear unabhängige Teilmenge {v1,...,v5} auswählen und diese zu der Basis des R4 ergänzen.

Nun, ich hab mir gedacht weil es im R4 ist kann ich einen Vektor rausschmeissen und 4 nehmen, davon in eine Matrix Form umwandeln und nach Lineare Unabhängigkeit prüfen... ist das der richtige Weg? Wie würde es weitergehen?
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2008 - 21:55:30    Titel:

Du kannst die Vektoren als Zeilenvektoren in eine Matrix schreiben und dann deren Rang rausfinden. Dies ist dann die maximale Anzahl an Vektoren in der gegebenen Menge, die linear unabhängig sind. Wenn der Rang kleiner ist als 4, musst du Vektoren derart hinzufügen, dass der Rang gleich 4 wird.
bhagui
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Anmeldungsdatum: 28.04.2008
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2008 - 22:06:14    Titel:

Okay, ich bin mir jetzt nicht sicher wie du das mit "Zeilenvektoren in eine Matrix" reinschreiben meinst, ich habe beides jetzt gemacht also:

Die Vektoren Zeilenweise per Matrix den Rang berechnet, dann kommt da der Rang 3 raus.

Wenn ich die normal als Spalten mache, ist der Rang 4.

Sagen wir mal das erste ist richtig, müsste ich nun Vektoren hinzufügen. Nur wie mache ich das?
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2008 - 22:10:02    Titel:

Zeilen- und Spaltenrang einer Matrix stimmen überein [bzw. Rang einer Matrix ist gleich dem Rang ihrer transponierten], irgendwas passt da nicht.
bhagui
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Anmeldungsdatum: 28.04.2008
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2008 - 22:11:44    Titel:

Du hast recht. Ich hab mich versehen, es ist bei beiden der Rang 3.
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2008 - 22:23:30    Titel:

Jetzt kannst du einfach einen Vektor hinzufügen, hier ein Beispiel wie die Matrix am Ende aussehen kann:

Code:
5 6 8 6
0 1 6 8
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0



Ich bin mir nicht ganz sicher, aber die dritte Zeile müsstest du jetzt durch einen beliebigen Spaltenvektor ersetzen können, deren erste zwei Koordinaten null und letzten beiden nicht null sind. Die Vektoren 1, 2, 4 und der hinzugefügte sollten nun linear unabhängig sein.
bhagui
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Anmeldungsdatum: 28.04.2008
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2008 - 22:31:03    Titel:

Ok, meine Matrix sieht so aus:

Code:

1 0 0 2
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0



Also einen hinzufügen:

Code:

1 0 0 2
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 1
0 0 0 0


So?
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 29 Apr 2008 - 11:12:06    Titel:

Jein.


Jetzt hast du ja garkeine obere Dreiecksform mehr, du müsstest wieder umformen um die lienare unabhängigkeit nachzuweisen. In diesem Fall gestaltet es sich jedoch recht einfach, da du die Matrix
Code:
1 0 0 2
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0

durch Subtraktion der dritten von der vierten Zeile erhältst Wink
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