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Problem mit Grenzwert e (eulersche Zahl)
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Problem mit Grenzwert e (eulersche Zahl)
 
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DiLuciano
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Anmeldungsdatum: 28.04.2008
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2008 - 19:28:13    Titel: Problem mit Grenzwert e (eulersche Zahl)

Hallo,

wir werden in den kommenden Wochen im Matheunterricht die eulersche Zahl behandeln. Da ich in Mathe einige Zeit geschlafen und vieles verpasst habe,
muss ich mich diese hälfte anstrengen um nich durchzufallen Laughing .
Zu meiner eigendlichen Frage:

Ich habe probleme mit der ersten Ableitung von e ( also y= e^x ) und bekomme kein Ergebnis heraus,dafür reicht mein wissen (noch) nich.....

würde mich auf eine Antwort freuen,

Mit freundlichen Grüßen

Luciano
Jojoo
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Anmeldungsdatum: 27.04.2007
Beiträge: 62

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2008 - 19:30:33    Titel:

Die Ableitung von e^x ist e^x. Wenn du einen anderen Exponenten hast, bloß nicht die innere Ableitung vergessen. Also z.B. e^-x'=-e^-x.
Alles klar?
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2008 - 19:34:36    Titel:

Diese Frage mathematisch korrekt zu beantworten ist garnicht so einfach, ich verweise auf einen Beitrag von cyrix:

http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/178753,9.html
DiLuciano
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Anmeldungsdatum: 28.04.2008
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2008 - 19:34:40    Titel:

hmmmm,

da geht das problem ja schon los,

wie rechne ich dann dies aus, wenn ich zb für x = 0 setze, also

y= e^x

f' (0) = ?

????
DiLuciano
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Anmeldungsdatum: 28.04.2008
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2008 - 19:38:17    Titel:

also ich hab eben nachgefagt, da müsste f' (0) = 1 rauskommen,

nur halt wie.....
kennt jemand die rechenwege? (11Klasse niveau)
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2008 - 19:39:50    Titel:

Wenn du voraussetzt:

f(x) = e^x
f'(x) = e^x


Dann gilt: f'(0) = e^0 = 1
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2008 - 19:40:18    Titel:

Es macht Sinn, die euler'sche Zahl überhaupt erst herzuleiten, indem man sich Gedanken macht, wie Exponential-Funktionen abgeleitet werden:

f(x) = a^x

f'(x)
= [lim von ((a^(x+h) - a^x) / h) für h gegen 0]
= [lim von ((a^x * a^h - a^x) / h) für h gegen 0]
= [lim von ((a^x * (a^h - 1)) / h) für h gegen 0]
= a^x * [lim von ((a^h - 1) / h) für h gegen 0]

Für welche Basis a (ungleich Null) gilt nun f(x) = f'(x) ? Dazu müsste der Grenzwert den Wert Eins haben:

1 = [lim von ((a^h - 1) / h) für h gegen 0]
a = [lim von (h.wurzel(h+1)) für h gegen 0]

n := 1/h

a = [lim von ((1+1/n)^n) für n gegen (+unendlich)]

Und diese Zahl ist e. Daher ist allein aus seiner Definition heraus, die Ableitung von e^x gleich e^x.

EDIT: Ach nee - zu spät, als dass es noch Sinn ergeben würde...
DiLuciano
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Anmeldungsdatum: 28.04.2008
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2008 - 19:48:12    Titel:

danke danke,
sieht recht simpel aus.

ich habe mir jetzt telefonisch eine eigenartige andere Version der ausrechnung geholt, nur diese is kompliezierter und für mich auch segr unverständlich.

Rechenweg :

f'(0)=

m(s)= 1-e 1-e
----- = ------- = 1.718....
0-1 -1


m(s)= 1 - e^0.5
------------ = 1.297
0 - 0.5



m(s)= 1-e
------- = 1.0050 ====> f'(0)=1
0- 0.01


gleiche Aufgabe nur anderer Rechenweg??????
Danke im Vorraus

L.E.
DiLuciano
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Anmeldungsdatum: 28.04.2008
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2008 - 19:49:31    Titel:

tut mir leid, die ganzen Zeilen sind verschoben..........

können wir wohl nich bearbeiten, sorry
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2008 - 23:52:59    Titel:

ist es nicht auch schön, die exponentialfunktion als lösung der gleichung y´=y mit y(0)=1 zu definieren? diese ist ja als lösung des anfangswertproblems eindeutig, wenn man die entsprechenden sätze kennt.
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