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Integralrechnung
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drohdeifl
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Anmeldungsdatum: 27.11.2006
Beiträge: 2224

BeitragVerfasst am: 29 Apr 2008 - 14:12:04    Titel: Integralrechnung

Hallo,

kann jemand mir dabei helfen, die Lösung für

INT [ e^(- sin (x²)) * [cos (arctan (x²-4x³))]^(x²)] dx

zu finden.

Wie macht man das?
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
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BeitragVerfasst am: 29 Apr 2008 - 14:18:58    Titel:

Shocked Aus welchem Zusammenhang kommt denn diese Funktion?
M45T4
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Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 3718
Wohnort: Browntown

BeitragVerfasst am: 29 Apr 2008 - 14:28:56    Titel: Re: Integralrechnung

mtobi hat folgendes geschrieben:

Wie macht man das?


Numerisch oder Wolfram bemühen.. sonst brichste dir daran die Finger.. Rolling Eyes
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 29 Apr 2008 - 14:41:16    Titel:

Eine kleine Umformung, die dir allerdings auch kaum helfen wird:

arctan(x) = sgn(x) * arccos(1/wurzel(x²+1))

Falls (x²-4x³) also nichtnegativ sein sollte, gilt:
cos(arctan(x²-4x³))
= 1/wurzel((x²-4x³)²+1)
= 1/wurzel(16x^6 - 8x^5 + x^4 + 1)

Falls du das Ergebnis nicht explizit brauchst, dann approximiere doch numerisch.
drohdeifl
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Anmeldungsdatum: 27.11.2006
Beiträge: 2224

BeitragVerfasst am: 29 Apr 2008 - 21:24:03    Titel:

Wie sieht die numerische Lösung aus?

D.h., es führt kein Weg zu einer (100%-)korrekten Stammfunktion? Oder ist dieser Weg einfach zu aufwändig bzw. sind wir zu unfähig, ihn zu gehen?
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 29 Apr 2008 - 22:23:50    Titel:

Nunja, du könntest versuchen eine Taylor-Reihe zu entwickeln und diese dann zu integrieren - wird aber auch nicht ganz einfach und ist auch nicht mehr als eine Approximation. Durch bilden der Summen ergibt sich ca. folgende Stammfunktion:



Eine grobe Näherung ist f(x) = 0.71 tanh(1.65x)

Ich meine, dass es nicht möglich ist, hier eine Stammfunktion explizit anzugeben, allein schon wegen der Nicht-Linearität des Exponenten der natürlichen Exponential-Funktion (zusammen mit der Tatsache, dass nicht '-2x cos(x²)' als Faktor davorsteht).
drohdeifl
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Anmeldungsdatum: 27.11.2006
Beiträge: 2224

BeitragVerfasst am: 29 Apr 2008 - 22:36:16    Titel:

D.h. im Umkehrschluss, es existiert keine Funktion, deren Ableitung f(x) ergibt. Das ist interessant.
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 29 Apr 2008 - 22:51:21    Titel:

Die Funktion existiert schon, lässt sich aber nicht so kompakt angeben wie die Ausgangs-Funktion. Wie gesagt: Da die Funktion wohl überall unendlich oft differenzierbar ist, sollte eine Taylor-Reihe möglich sein.
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