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waagerechte Asymptoten
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Sagnienie
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Anmeldungsdatum: 01.05.2008
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 01 Mai 2008 - 11:48:28    Titel: waagerechte Asymptoten

Hi, und zwar habe ich folgendes Problem.

Wir beschäftigen uns seit neuestem mit senkrechten und waagerechten Asymptoten.
Senkrechte Asymptoten zu bestimmen, bedeutet ja ganz einfach die Definitionslücke zu bestimmen, bedeutet da wo x=0 wird.

Aber wie rechne ich die waagerechten Asymptoten aus?
Aus anderen Beiträgen konnte ich nur folgern, dass vorerst die Steigung der Funktion f(x) bestimmt werden muss durch die 1. Ableitung... weiter komme ich aber nicht.

Gruß
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 01 Mai 2008 - 11:56:51    Titel:

Senkrechte Asymptoten sind Geraden parallel zur y-Achse und zwar an den Polstellen der Funktion. Einfach x=0 setzen, bringt dich da nicht zum Ziel und nicht jede Definitions-Lücke ist eine Polstelle.
Waagerechte Asymptoten ermittelst du durch das Bilden eines Grenzwertes - du untersuchst das Verhalten im Unendlichen.
Sagnienie
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Anmeldungsdatum: 01.05.2008
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 01 Mai 2008 - 12:19:25    Titel:

nochmal zu den Polstellen. Ich dachte Polstellen sind doch die Nullstellen im Nenner.. also da wo der Nenner 0 wird?! Und daraus ergibt sich dann die Definitionslücke der Funktion.
also jetzt ein Bsp: (x-4)/((x+2)
müsste doch dann 2 Polstellen haben und zwar bei 4 und -2. Sind diese Polstellen nochmal genauer definierbar?

Wärst du so nett mir kurz nochmal zu sagen wie ich den Grenzwert berechne? ich finde keine Seite wo dieses für Idioten erklärt wird. Wink

Gruß
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 01 Mai 2008 - 21:47:43    Titel:

Ganz so einfach ist es nicht. Wenn du eine gebrochen-rationale Funktion wie folgt gegeben hast

f(x) = z(x) / n(x)

Dann ist es ratsam die Nullstellen des Zählers und die Nullstellen des Nenners zunächst einzeln zu berechnen und dabei aber ihre Wertigkeiten zu beachten. Wenn es sich um Polynome bei z(x) und n(x) handelt, dann ist das gut überschaubar, wenn du die Polynome jeweils in die Linear-Faktor-Form bringst. Angenommen, du findest eine Nullstelle des Nenners - ich bezeichne sie mal mit u. Hat u nun im Zähler eine niedrigere Nullstellen-Wertigkeit als im Nenner, dann handelt es sich um eine Polstelle; bei gleicher Wertigkeit um eine stetig-behebbare Def.-Lücke. Nullstellen, die nur im Zähler auftauchen sind Nullstellen der Gesamtfunktion.
Zum Verhalten im Unendlichen: Es gibt verschiedene Situationen, die unterschiedliche Vorgehensweisen erfordern, aber bei Polynomen kommst du in der Regel damit aus, dass du die höchste Potenz des Zählers kürzt. Beispiel dazu:

f(x) = (x² - 3x + 5) / (x³ + 1)

[lim f(x) für x gegen (+unendlich)]
= [lim ((1 - 3/x + 5/x²) / (x + 1/x²)) für x gegen (+unendlich)]
= [lim (1 / x) für x gegen (+unendlich)]
= 0

Ansonsten könnte L'Hospital und Polynom-Division nützlich sein.
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