Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Koordinatenform einer Ebene eindeutig?
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Koordinatenform einer Ebene eindeutig?
 
Autor Nachricht
clarina
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 30.12.2007
Beiträge: 20

BeitragVerfasst am: 02 Mai 2008 - 17:27:53    Titel: Koordinatenform einer Ebene eindeutig?

Hallo,

ich bin ein wenig verwirrt... Rolling Eyes

Ich will von der Parameterform zur Koordinatenform.
E: X = (2/-2/0) + r (1/-1/1) + s (3/3/1)

Dabei bin ich zuerst über die Determinante gegangen und kam da auf
E: -4x1 + 2x2 + 6x3 + 8 = 0
Stimmt das?

Dann habe ich erst über das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) den Normalenvektor ausgerechnet (n = (-4/2/6) ), eine Koordinatengleichung aufgestellt und in diese dann den Aufpunkt der Ebene eingesetzt, um d zu erhalten.
Also
-4x1 + 2x2 + 6x3 + d = 0
(2/-2/0) eingesetzt (Aufpunkt), ergibt d = 12
Damit bekomme ich
E: -4x1 + 2x2 + 6x3 + 12 = 0

Und im Buch lösen sie das Ganze über Elimination der Parameter aus der Parametergleichung durch ein Gleichungssystem (das ist mir aber zu kompliziert). Und die kriegen
E: 2x1 - x2 - 3x3 - 6 = 0

Hm, mir fällt grad auf, dass meine zweite Lösung ja das Gleiche gibt, wenn ich mit -1 durchmultipliziert und durch 2 teile. Shocked Embarassed Bei meiner ersten Lösung (also der Determinante) stimmt aber das d nicht. Confused

Was hab ich denn da falsch gemacht? Oder ist die Koordinatenform nur bis auf das d eindeutig?
brabe
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
Wohnort: Lehrerzimmer

BeitragVerfasst am: 02 Mai 2008 - 18:02:53    Titel:

Es geht viel einfacher über die Normalen Form

E: x = (2/-2/0) + r (1/-1/1) + s (3/3/1)
=> n= (1/-1/1) x (3/3/1) = (-4/-2/4) und normiert n'=1/3*(-2/-1/2)
E: 1/3*((2/-2/0)-x)) . (-2/-1/2) = 0
E: -2/3 x1 - 1/3 x2 + 2/3 x3 = -2

Ich hoffe ich habe mich nicht verrechnet

Die Koordinatenform ist bis auf eine Multiplikation eindeutig. Du kannst doch Äquivalenzumformungen ausführen bei Gleichungen und genau das hast du gemacht! Das ist nicht das d was du alleine geändert hast!

Das d bestimmt doch den Abstand vom Ursprung wenn ich mich recht entsinne.
clarina
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 30.12.2007
Beiträge: 20

BeitragVerfasst am: 02 Mai 2008 - 18:15:14    Titel:

Hm, jetzt bin ich schon wieder überfordert:

du hast doch jetzt auch über das Kreuzprodukt den Normalenvektor berechnet, oder? (aber anderes Ergebnis als meins Confused )

Ich möchte eigentlich nur wissen, ob
1. das Verfahren über die Determinante auch geht (und richtig ist), und
2. die Koordinatenform eindeutig ist (weil ich ja verschiedene d rausbekommen habe; ob die "relevant" sind)

??
brabe
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
Wohnort: Lehrerzimmer

BeitragVerfasst am: 02 Mai 2008 - 18:20:18    Titel:

Dann habe ich mich eventuell doch verrechnet

1)Das mit der Determinate funktioniert
2)Du hast nicht das d verändert!

E: ax1+bx2+cx3 +d = 0

Das kann man mit jeder Zahl durchmultiplizieren und man bekommt immernoch dieselbe Ebene dabei heraus.

E: -4x1 + 2x2 + 6x3 + 12 = 0
E: 2x1 - x2 - 3x3 - 6 = 0
oder
E: -2x1 + x2 + 3x3 + 6 = 0

Das ist alles dieselbe Ebene
clarina
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 30.12.2007
Beiträge: 20

BeitragVerfasst am: 02 Mai 2008 - 18:37:20    Titel:

Ok, hab die Determinante nochmal durchgerechnet und bemerkt, dass ich mich verrechnet habe. Embarassed Es kommt also das Gleiche raus.

Das mit dem Durchmultiplizieren hab ich übrigens schon verstanden. Ich war nur ein wenig verwirrt, weil ja meine beiden Lösungsgleichungen bis auf das d identisch waren. Aber das hat sich ja jetzt geklärt.

Wo wir aber mal dabei sind: was ist das d?? Confused Embarassed
brabe
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
Wohnort: Lehrerzimmer

BeitragVerfasst am: 02 Mai 2008 - 18:48:29    Titel:

Das d ist doch das Skalarprodukt eines Punktes auf der Ebene mit dem normierten Normalenvektor. Was passiert beim Skalarprodukt?

x . y = |x|*|y| * cos(x,y)
{Also der Winkel zwischen den Vektoren}

Das bedeutet bei y normiert, wird einfach der Abstand der Ebene vom Urpsrung abgetragen. Sagte ich auch weiter oben.

http://de.wikipedia.org/wiki/Koordinatenform
Hier steht es auch nochmal
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Koordinatenform einer Ebene eindeutig?
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum