Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Koordinatengleichung einer Ebene E?
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Koordinatengleichung einer Ebene E?
 
Autor Nachricht
chiller89
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 09.09.2006
Beiträge: 38

BeitragVerfasst am: 02 Mai 2008 - 19:54:51    Titel: Koordinatengleichung einer Ebene E?

Guten Abend Leute,

ich versuche gerade eine Koordinatengleichung einer Ebene E aufzustellen, in der nur ganzzahlige Koeffizienten auftreten. (so viel zur Aufgabenstellung)

hier die Aufgabe: E: Vektor x = (4/5/-1) + r(-1/0/1) + s(0/0/1)

Zuerst habe ich die drei Gleichungen aufgestellt, die sich daraus ergeben:
4 - r = x1
5 = x2
-1 + r +s = x3

und für r = -x1 + 4 und für s = x1 + x3 -3 herausbekommen. Soweit richtig?
Meine Frage wäre jetzt: Wie geht man weiter vor? In welche Gleichung müssen r und s eingesetzt werden?

Außerdem: Wie beseitigt man aus der folgenden Gleichung die Nenner, sodass nur ganzzahlige Koeffizienten übrig bleiben?
- x1 + x2/2 + x3/3 = 5/6

Danke schon mal. Smile
chiller89
Matthias20
Moderator
Benutzer-Profile anzeigen
Moderator


Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 02 Mai 2008 - 20:19:12    Titel:

1) du kannst das vorliegende LGS mit dem Gaussverfahren loesen und erhaelst eine Koordinatengleichung.

2) Annahme: Dein n-Vektor mit n := (-1 | 1/2 | 1/3) sei korrekt. Vereinfachung: 6*(-1 | 1/2 | 1/3) = (-6 / 3 / 2) -> ganzzahlige Koordinaten!

Wenn der Vektor n korrekt ist, muss das Skalarprodukt von n mit je beiden Richtungsvektoren der Ebene in Parameterform gleich Null sein, damit die Orthogonalitaetsbedingung erfuellt ist. Ok?

Test: (-6 / 3 / 2) * (-1 / 0 / 1) = 6 + 0 + 2 = 8 != 0 -> also falsch!

3) Einfache Ueberlegung: Betrachte mal die beiden Richtungsvektoren: u := (-1/0/1) und v := (0/0/1).

Stelle dir eine skalare Multiplikation mit einem n-Vektor vor. Wie muss dieser Vektor aussehen, damit bei beiden Produkten das Ergebnis Null heraus kommt? Betrachte mal die x2 Koordinaten beider Vektoren. Wie du siehst, sind beide x2 = 0. Also ist es egal, welcher Wert die x2-Koordinate des n Vektors beseitzt, denn die skalare Multiplikation mit den beiden Richtungsvektoren ist in jedem Fall null, denn x * 0 mit x Element IR ist gleich Null. Ok?

Weitere Ueberlegung. Wie muessen die x1- und x3- Koordinate des n-Vektors aussehen, dass das Ergebnis der skalaren Multiplikation mit deinen Richtungsvektoren gleich Null ist? Hast du einen Vorschlag? Denke mal so trivial wie in dem ersten Fall.

Gruss:


Matthias
chiller89
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 09.09.2006
Beiträge: 38

BeitragVerfasst am: 03 Mai 2008 - 20:14:55    Titel:

Okay, danke erstmal für die Hilfe.
Zunächst einmal waren das ja zwei Aufgaben, die ich hier aufgeschrieben hatte.
Bei der ersten:
E: Vektor x = (4/5/-1) + r(-1/0/1) + s(0/0/1)
hatte ich die Parameter r und s ausgerechnet. Jedoch weiß ich nicht, wo ich sie einsetzen muss. Um eine vollständige Koordinatengleichung aufzustellen, müsste ich ja r und s in II einsetzen. Das klappt aber nicht.

Welche deiner Nummern gehört jetzt zu was, da blicke ich gerade nicht so ganz durch, sorry. Deine Lösungsansätze verstehe ich auch ehrlich gesagt nicht.

Die zweite Aufgabe: - x1 + x2/2 + x3/3 = 5/6
Wie beseitigt man hier die Nenner? Denn auch hier braucht man ja wieder ganzzahlige Koeffizienten. Multiplikation mit 2 oder 3? Geht beides nicht, oder?

Gruß,
chiller89.
M45T4
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 22.08.2007
Beiträge: 3718
Wohnort: Browntown

BeitragVerfasst am: 03 Mai 2008 - 22:44:04    Titel:

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 3 ist 2*3=6

also mit 6 multiplizieren..
mathefan
Valued Contributor
Benutzer-Profile anzeigen
Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 03 Mai 2008 - 22:49:18    Titel:

.
Zitat:
Die zweite Aufgabe: - x1 + x2/2 + x3/3 = 5/6
Wie beseitigt man hier die Nenner?
Multiplikation mit 2 oder 3?

Very Happy beides ..
also multipliziere beide Seiten mit 6 und staune...



Zitat:
eine Koordinatengleichung einer Ebene E aufzustellen..

E: Vektor x = (4/5/-1) + r(-1/0/1) + s(0/0/1)

Zuerst habe ich die drei Gleichungen aufgestellt, die sich daraus ergeben:
(4 - r = x1
5 = x2 Very Happy
-1 + r +s = x3

und wenn du genau hinschaust, dann bist du doch schon fertig...
(deine gesuchte Koordinatengleichung ist: E: 0*x1 + x2 +0*x3 = 5 )

Zusatz-Tipp:
Falls du das vektorielle Produkt kennst, kannst du mit den beiden Richtungsvektoren sofort einen
Normalenvektor n von E berechnen -
(n1,n2,n3) = (-1/0/1) x (0/0/1)
dessen Komponenten kannst du dann als Vorzahlen der skalaren Form nehmen... n1*x1+n2*x2+n3*x3+d= 0
d bekommst du übrigens dann, wenn du (4/5/-1) einsetzt ...
ok?
.
chiller89
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 09.09.2006
Beiträge: 38

BeitragVerfasst am: 04 Mai 2008 - 10:09:14    Titel:

ja. jetzt leuchtet mir das ein Rolling Eyes dankeschön!

ps: eine Zusatzfrage noch: -18*x1/3 mit 3 multipliziert müsste -18x1 geben, oder?
also: -18*x1/3 * 3 = -18x1 ---> sprich, es löst sich nur der Bruch auf, ohne dass sich der Koeffizient 18 verändert?
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Koordinatengleichung einer Ebene E?
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum