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Integration von 1/cosh(u)
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Majinor
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Anmeldungsdatum: 03.02.2008
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 04 Mai 2008 - 14:12:59    Titel: Integration von 1/cosh(u)

Hallo,
ich habe zurzeit eine Übungsaufgabe zu welcher ich einfach keinen vernünftigen Ansatz finde:

Zitat:
∫ 1/cosh(3x) dx


Ich habe 3x mit u substituiert und erhalte damit folgendes Integral:

Zitat:
1/3 * ∫ 1/cosh(u) du


Jetzt weiß ich aber leider nicht mehr weiter. Im Netz findet man Ansätze mit Sekans Hyperbolicus, (sech(x) = 1/cosh(x)) jedoch hatten wir sech() bisher überhaupt nicht in den Vorlesungen.
Von daher kann ich mir irgendwie nicht vorstellen, dass wir auf einmal in den Übungen damit arbeiten sollen. (vor allem weil die Ergebnisse sich dann deutlich von untem genanntem Unterscheiden)

Als Ergebnis soll folgende Stammfunktion herauskommen:

Zitat:
2/3 arctan(e^(3x))


Kann mir einer einen Tipp geben wie das zu lösen ist? Bzw. falls wirklich sech() die einzige Möglichkeit ist, wie ich auf oben genannte Lösung kommen kann?
One for one
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
Beiträge: 1034
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 04 Mai 2008 - 14:25:35    Titel:

Erinnere dich daran, dass cosh(x) = 1/2(e^(x)+e^(-x)) ist und dass
∫1/(x^2+1)dx=arctan(x)+C

Mehr brauchst du eigentlich nicht um dieses Integral zu lösen.

Nur für den Fall, dass du doch nicht weiter kommst:
Korrigiert
Es ergibt sich nach deiner Substitution:
1/3 * ∫ 1/cosh(u) du = 1/3∫2/(e^(u)+e^(-u))du= 2/3∫1/(e^(u)+e^(-u))du

=2/3∫e^(u)/(e^(2u)+1)du

Nochmal eine Substitution z=e^(u) dz/du=e^(u)<=>du=dz/e^(u)

=2/3∫1/(z²+1)dz

2/3*arctan(z)=2/3*arctan(e^(3x))
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