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induktion mit rekursion.. wie geht das
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elmanuel
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Anmeldungsdatum: 19.07.2007
Beiträge: 157
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BeitragVerfasst am: 06 Mai 2008 - 09:56:27    Titel: induktion mit rekursion.. wie geht das

ich habe f(1)=1 und f(n+1)=(f(n)^2) / (1+f(n))

gezeigt werden soll f(n)>0 für alle n>=1

wie geht ich da am besten ran ?


Zuletzt bearbeitet von elmanuel am 06 Mai 2008 - 11:24:16, insgesamt einmal bearbeitet
alexx
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Anmeldungsdatum: 27.02.2005
Beiträge: 520

BeitragVerfasst am: 06 Mai 2008 - 10:51:17    Titel:

was ist denn in diesem Fall f(x)?
elmanuel
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Anmeldungsdatum: 19.07.2007
Beiträge: 157
Wohnort: Wien

BeitragVerfasst am: 06 Mai 2008 - 11:22:58    Titel:

f(x) ist nicht gegeben.. das ist die vollständige angabe.. sorry hab vorher statt f(n) f(x) geschrieben..
Mindworm
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Anmeldungsdatum: 04.11.2007
Beiträge: 1064

BeitragVerfasst am: 06 Mai 2008 - 13:06:02    Titel:

Angenommen, f(n) ist >0. Kann f(n+1) dann negativ werden? Schau dir den Bruch an...
wenn nun aus f(n)>0 folgt, dass f(n+1)>0 ist, brauchst du nur ein n, bei dem es sicher über 0 ist. Hast du ein solches n? Was bedeutet das für die folgenden Werte von n?
elmanuel
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Anmeldungsdatum: 19.07.2007
Beiträge: 157
Wohnort: Wien

BeitragVerfasst am: 07 Mai 2008 - 08:08:53    Titel:

ich verstehs nicht .. ich schreib mal wie weit ich bin ... ich kenn mich nicht aus wie man das formal aufschreibt und wo hier der induktionsschritt liegt...

f(1)=1

f(n+1)=(f(n)^2) / (1+f(n))


f(n)>0 für alle n>0

i.A.

f(2)=(1/2) > 0 --> stimmt

i.S.

f(n)>0 --> f(n+1)>0

f(1)>0 ---> f(n)>0 für alle n>0
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 07 Mai 2008 - 12:19:36    Titel:

Was machst du denn da im Induktions-Schritt? Zu zeigen ist (f(n+1) > 0).

f(n+1) = f²(n) / (f(n)+1)

Laut Induktions-Hypothese gilt (f(n) > 0). f²(n) ist immer positiv (Vorsicht: Nur im Reellen der Fall!).

f²(n) > 0
f(n)+1 > 0

Der Quotient zweier positiver reeller Zahlen ist immer positiv, daher:

f²(n) / (f(n)+1) > 0

Fazit: Kommt auf die Definition von f an.
elmanuel
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Anmeldungsdatum: 19.07.2007
Beiträge: 157
Wohnort: Wien

BeitragVerfasst am: 07 Mai 2008 - 13:16:55    Titel:

ok .. im grunde kapier ich jetzt warum es >0 sein muss ... danke allen .. kann ich das so schreiben ?

f(1)=1

f(n+1)=(f(n)^2) / (1+f(n))


f(n)>0 für alle n>0

i.A.

f(2)=(1/2) > 0 --> stimmt

i.S.

f(n)>0

f(n+1)=(f(n)^2) / (1+f(n))

f(n)^2)>0

(1+f(n))>0

--> (f(n)^2) / (1+f(n)) = f(n+1) >0
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