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Partialbruchzerlegung
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Juliane1987
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Anmeldungsdatum: 28.11.2007
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 08 Mai 2008 - 17:38:43    Titel: Partialbruchzerlegung

Hallo,
hab hier ne aufgabe wo ich nicht ganz weiterkomme,
soll folgenen term in einen partialbruch zerlegen:

x^5 - x^3 - x^2 / ( x^2 - 1)

wollt eigentlich so an die sache rangehen, dass ich die nullstellen des nenners bestimme, also +1 und -1
und dann
x^5 - x^3 - x^2 / ( x -1) (x+1) = A / (x+1) + B/ (x-1) und dann so weiter rechne. komm dann aber für A= -1/2 und B=+1/2, was aber nicht mit der ausgangsgleichung übereinstimmt.
könnt mir jemand sagen was ich falsch gemacht habe, oder mir nen neuen ansatz geben?
vielen dank im voraus!
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
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BeitragVerfasst am: 08 Mai 2008 - 17:44:31    Titel:

Soll der gesamte Term über dem Bruchstrich stehen oder nicht?

(x^5 - x^3 - x^2) / (x^2 - 1)
oder
x^5 - x^3 - (x^2 / (x^2 - 1))


In beiden Fällen solltest du mit einer Polynomdivision anfangen Wink
Juliane1987
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Anmeldungsdatum: 28.11.2007
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 08 Mai 2008 - 18:21:07    Titel:

ja der gesamte term steht übern buchstrich....aber wernn ich ne polynomdivision mache, dann kommt nur noch x^3 raus...oder stell ich mich da jetzt zu dumm an?
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 08 Mai 2008 - 18:26:18    Titel:

Nö, es kommt nicht nur x³ raus Wink

http://de.wikipedia.org/wiki/Polynomdivision#Manueller_Ablauf
Juliane1987
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Anmeldungsdatum: 28.11.2007
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 08 Mai 2008 - 18:41:59    Titel:

was denn dann? Wink
hab jetzt x^3-1(-1/x^2-1) raus....aber damit kann ich nun jetzt gar nichts anfangen------ Sad
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 08 Mai 2008 - 18:46:52    Titel:

Die Klammersetzung ist noch nicht ganz korrekt:

x³ - 1 - 1/(x² - 1)


Im nächsten Schritt kannst du -1/(x² - 1) mittels einer Partialbruchzerlegung umwandeln, danach bist du schon fertig Wink
Juliane1987
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Anmeldungsdatum: 28.11.2007
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 08 Mai 2008 - 19:05:32    Titel:

als hab jetzt -1 / (x^2-1) zerlegt in A/(x-1) + B/(x+1)
hab dann für A=-1/2 und B= 1/2 raus.
also wär meine endgleichung : x^3 -1 - 1/2(x-1) + 1/2(x+1)....stimmt das so?
Tellos
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Anmeldungsdatum: 30.04.2006
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 09 Jun 2009 - 16:18:19    Titel:

Hi,
ich wollte nicht gleich ein neues thema erstellen, also schreibe ich hier rein.

kann mir jemand erklären, wie ich hier mit hilfe der partialbruch zerlegung weiterkomme?

F(s) = 1 / (s^3 + 6s^2 + 11s + 6)


danke schon im voraus...
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 09 Jun 2009 - 20:53:21    Titel:

Faktorisierung des Nenner-Polynoms aufstellen
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 09 Jun 2009 - 22:05:09    Titel: Spezialfall

Die Koeffizienten des Nenner-Polynoms (3. Grades) sind [1, 6, 11, 6]. Es gilt -1 + 6 -11 +6 = 0 (alternierende Vorzeichen). Daher ist eine der Nullstellen [;s_1 = -1;], weshalb der Linearfaktor (s+1) vom Nenner-Polynom abgetrennt werden kann (Polynom-Division). Dann bleibt ein Polynom 2. Grades übrig, dessen beide Nullstellen [; s_2(=-2), \ s_3(=-3) ;] wie üblich (z. B. "Mitternachts-Formel") bestimmt werden können. Damit gelingt die zuvor von Annihilator erwähnte Faktorisierung des Nenners in die Form [; (s-s_1)\cdot(s-s_2)\cdot(s-s_3) ;].
Danach gehts weiter mit einem Ansatz der Art [; \frac{1}{(s-s_1)\cdot(s-s_2)\cdot(s-s_3)} \ = \ \frac{C_1}{s-s_1} + \frac{C_2}{s-s_2} + \frac{C_3}{s-s_3} ;], wobei die 3 Konstanten [; C_1 (= \frac{1}{2}), \ C_2 (=-1), \ C_3 (= \frac{1}{2});] (durch Multiplikation mit dem Hauptnenner [;\rightarrow 1 \ = \ C_1\cdot(s-s_2)\cdot(s-s_3) + C_2\cdot(s-s_1)\cdot(s-s_3) + C_3\cdot(s-s_1)\cdot(s-s_2) ;] und z. B. Einsetzen der zuvor ermittelten Nullstellen für s) zu bestimmen sind.

Zwecks Verifikation: [; F(s) \ = \ \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+1} \ -\frac{1}{s+2} \ +\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s+3} ;].
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