Aufstellen einer Ebenengleichung

sebastian2009 · Newbie Anmeldungsdatum: 10.05.2008 Beiträge: 4

Hallo,
habe ein Problem mit dem Aufstellen einer Ebenengleichung bzw. der Koordinatengleichung.

Gegeben sind folgende Punkte:

A(1|1|0), B(1|0|1), C(0|1|1)

a) Parametergleichung bestimmen

Das ist mir noch klar:

Stützvektor 0A und Spannvektoren AB und AC

Ergibt dann:

x= (1|1|0) + r*(0|-1|1) + s*(-1|0|1)

b) Koordinatengleichung bestimmen

Hier habe ich etwas Probleme. Wie mache ich das genau ?
Am Ende hat man ja dann x1, x2 und x3 und kann z.b. dann eine Punktüberprüfung einfach vornehmen.

Aber wie stelle ich diese Koordinatengleichung genau auf ?
Wäre für Hilfe dankbar Smile

Gruß, Sebastian

Annihilator

Das Kreuzprodukt der Spannvektoren ist ein Vielfaches des Normalen-Vektors.

n := s1 × s2

E: n[1] x + n[2] y + n[3] z = d

Gilt es dann also nur noch d zu bestimmen. Setz einfach einen bekannten Punkt ein und lies ab!

sebastian2009 · Newbie Anmeldungsdatum: 10.05.2008 Beiträge: 4

Danke!
Jedoch hatten wir das Kreuz.- bzw. Vektorprodukt noch nicht.
Gibt es da noch einen anderen Lösungsweg ?

Paddyot · Full Member Anmeldungsdatum: 11.04.2007 Beiträge: 117

Hallo!

Jedes Vektor x kannst du ja 3 Koordinaten zuordnen, einmal in x,y und z-Richtung.

Man erhält dann ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen, das man so kombinieren muss, dass man eine Gleichung mit x, y und z erhält.

x= 1+ 0*r - s
y= 1 - r + 0*s
z= 0 + r + s

Das ist gleich:

1)x= 1-s
2)y= 1-r
3)z= r+s

3) lässt sich wiefolgt umformen:
r= z-s
Eingesetzt in 2):
y= 1-z-s
Nach s umgestellt:
s= 1-y-z
Einsetzen in 1):
x=1-1+y+z
Koordinatenform bilden:
x-y-z = 0

Wink

MfG Paddyo
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Phantasie ist wichtiger als Wissen, denn Wissen ist begrenzt. --- Albert Einstein

mathefan · Valued Contributor Anmeldungsdatum: 17.12.2005 Beiträge: 8737

M45T4 · Senior Member Anmeldungsdatum: 22.08.2007 Beiträge: 3718 Wohnort: Browntown

Zeichnet man sich die drei Punkte in ein KS, dann sieht man schon, dass O /€ E sein kann, daher d =! 0 sein muss. Denn d/||vec n|| = d(O, E)..

mfG
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"The center of me shifts, is everywhere and no circumference can be drawn until the end."

Paul Auster - "The New York Trilogy"

rittergig · Full Member Anmeldungsdatum: 08.05.2007 Beiträge: 134

Das Kreuzprodukt/ Vektorprodukt von 2 Vektoren lässt sich ganz enfach bestimmen.

Wir haben das immer so gemacht: Jeden Vektor 2 mal untereinander geschrieben, den 2. Vektor dann rechts daneben.
Jetzt streichst du die 1. und die letzte Zeile durch und machst zwischen den Zeilen in der Mitte 3 Kreuze.
Jeden Strich des Kreuzes entlang multiplizierst du die 2 Zahlen. Zum Schluss subtrahierst du dann.

Beispiel:

http://web1.45093.vs.webtropia.com/privat/vektorprodukt.png

Du musst nur darauf achten, dass du immer gleich subtrahierst.
Das Ergebnis kannst du Anhand des Skalarprodukts überprüfen.
Das Skalarprodukt muss mit jedem Vektor v1, v2 gleich Null ergeben.

Das Kreuzprodukt entspricht dann deinen Normalenvektor und du kannst mithilfe eines Stützvektors dann die Normalenform aufstellen:
(x - s)*(n)=0
Wenn du das ausmultiplizierst, dann erhälst du die Ebenengleichung in gewünschter Koordinatenform: ax + by + cz = d
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OSZ

mathefan · Valued Contributor Anmeldungsdatum: 17.12.2005 Beiträge: 8737

.
hi rittergig , schön, dass du dem sebastian2009 das Kreuzprodukt erklärst -
und es ist gewiss der eleganteste Weg, dann damit die Ebenengleichung aufzustellen.
Nur scheint mir, dass die Frage von sebastian2009 etwas anders zu beantworten wäre :

Annihilator

Auch eine Möglichkeit wäre das Lösen des folgenden LGS:

rittergig · Full Member Anmeldungsdatum: 08.05.2007 Beiträge: 134

@Annihilator

Das verstehe ich nicht. Du hast in der Koordinatenform den Normalenvektor m ausgeklammert. Aber was ist dann x[1], x[2] und x[3] bzw. das selbe für y und z.
Habe solch ein GS noch nie gesehen.
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OSZ

mathefan · Valued Contributor Anmeldungsdatum: 17.12.2005 Beiträge: 8737

.
hi ( ".... Diagonalen sind inkommensurabel") :
zur Ani mation:

sebastian2009 · Newbie Anmeldungsdatum: 10.05.2008 Beiträge: 4

Annihilator

Ich wollte es nicht beschreien, aber es war ja klar, dass mathefan wieder rum motzen muss...

x[i], y[i] und z[i] sind die Koordinaten der gegebenen Punkte.

Nun noch die 'Erklärung' für mathefan, obwohl er doch längst weiß, was ich meine:

Die Lösungen sind:

n[1] = D[1] / D³
n[2] = D[2] / D³
n[3] = D[3] / D³

d lässt sich in allen Neben-Determinaten ausklammern und kann (wenn man es als D³ definiert) gekürzt werden (es sei denn natürlich, D³ = 0, also wenn die drei Punkte keine Ebene aufspannen).

EDIT: Kannst auch einfach den Kern der folgenden Matrix bestimmen und ihn 'instanziieren':

mathefan · Valued Contributor Anmeldungsdatum: 17.12.2005 Beiträge: 8737

.
An nihil at or :

M45T4 · Senior Member Anmeldungsdatum: 22.08.2007 Beiträge: 3718 Wohnort: Browntown

tjaaaaaaaaaaa... Rolling Eyes

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Paddyot · Full Member Anmeldungsdatum: 11.04.2007 Beiträge: 117

Hallo!
Sorry für meinen gestrigen Fehler Wink

In der Schule hab ich das so gelernt, wie ich es angewendet habe, nur hätte ich einen bösen Vorzeichenfehler nicht tun sollen.

meine 3 Gleichungen lauteten ja:

1) x = 1-s
2) y = 1-r
3) z = r+s <=> r = z-s
In 2) y = 1-z+s <=> s = y+z-1
In 1) x = 1-y-z+1
x = 2-y-z
x+y+z = 2

@ mathefan: Und nun darf sich auch der Punkt C auch zu den anderen gesellen Very Happy

So habe ich das damals in der 11. Klasse gelernt, vlt. kann unser sebastian mit dem Normalenvektor nicht viel anfangen, daher würde ich den Vorschlag hier anbieten.

MfG Paddyot
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sebastian2009 · Newbie Anmeldungsdatum: 10.05.2008 Beiträge: 4

So, ich habe nun die Variante mit der Normalengleichung und das Gleichungsystem von Paddyot bei verschiedenen Aufgaben angewendet und jedesmal das korrekte Ergebnis rausbekommen.
Danke für die schnelle Hilfe!! Very Happy