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Zahlentheorie - suche Aufgabe
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Franka_
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Anmeldungsdatum: 23.04.2008
Beiträge: 114

BeitragVerfasst am: 10 Mai 2008 - 22:42:41    Titel: Zahlentheorie - suche Aufgabe

Hallo Leute

Ich suche für einen wichtigen Vortrag eine "schöne" Anwendungsaufgabe aus der elementaren Zahlentheorie.

Vielleicht hat einer von euch eine Idee – die man vielleicht auch nicht in jedem Buch findet.

Ich danke euch
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 10 Mai 2008 - 22:57:25    Titel:

Auf welchem Niveau soll sich denn dieses Beispiel bewegen? Wie umfangreich soll es sein? Wie viel Zeit steht dir zur Verfügung?


- Satz von Wilson: Kurzer Beweis, braucht aber ein wenig Vorkenntisse
- Transzendenz der eulerschen Zahl: Langer Beweis, braucht aber recht wenige Vorkenntisse
Franka_
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Anmeldungsdatum: 23.04.2008
Beiträge: 114

BeitragVerfasst am: 11 Mai 2008 - 00:50:59    Titel:

Danke für die Antwort

Ich habe nur zehn Minuten – das ist echt nicht viel.
Ich soll nur ein kurzes Beispiel aus der elementaren Zahlentheorie vorstellen.

Bei dem Niveau bin ich mir selber unsicher.
Die Hörerschaft wird aus einigen Profs und Mathematiklehrern bestehen, an die sich eigentlich auch mein Vortrag richtet (ich habe keine Ahnung welche Vorkenntnisse sie haben Rolling Eyes )

Der Satz von Wilson ist da eigentlich schon ganz nett, ich befürchte aber, dass er zu viel voraussetzt.

Es soll einfach interessant sein. (will natürlich auch zeigen, dass ich was kann Mr. Green ), aber auch nicht an meiner Hörerschaft vorbeireden.



Trotzdem vielen Dank
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 11 Mai 2008 - 01:44:36    Titel:

Nu, der gruppenbegriff sollte doch bekannt sein.

Dann ist schnell gesagt, dass Multiplikation modulo einer Primzahl p (der Restklassen von 1 bis p-1) auch eine abelsche Gruppe ist (alles trivial bis auf die Existenz des Inversen, was aber schnell mit der Darstellung des ggTs von p und der Restklasse als ganzzahlige Linearkombination von diesen beiden Zahlen gezeigt ist). Und dann bist du schon so gut wie fertig:

Für den Beweis von Wilson musst du dann nur noch alle Restklassen (von 1 bis (p-1)) aufmultiplizieren, umordnen, zueinander inverse Elemente gegeneinander wegkürzen, und es bleibt das Produkt aller selbstinversen Elemente übrig.

Gilt aber a^2==1 (mod p), so ist a^2-1=(a-1)(a+1) durch p teilbar, also wegen p Primzahl auch (a-1) oder (a+1), d.h. a== +- 1 (mod p), d.h. (p-1)!==1*(-1)=-1 (mod (p). \Box

Grüße, Cyrix
Franka_
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Anmeldungsdatum: 23.04.2008
Beiträge: 114

BeitragVerfasst am: 11 Mai 2008 - 02:27:19    Titel:

Danke,

der Beweis nutzt doch aber die algebraische Zahlentheorie und nicht die elementare. Oder?

Ich weiß nicht wie eng das gesehen wird Confused
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 11 Mai 2008 - 10:39:16    Titel:

Laut wikipedia nicht Wink http://de.wikipedia.org/wiki/Elementare_Zahlentheorie


Der Satz von Euler sollte sich auch recht schnell beweisen lassen.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 11 Mai 2008 - 12:16:37    Titel:

Die algebraische Zahlentheorie beschäftigt sich mit Ganzheitsringen über endlichen Erweoterungen von Q (den Zahlkörpern, z.B. Q(i)).

Der genannte Satz (den man natürlich auch anders beweisen kann, nur so geht es eben schön schnell) ist recht elementar. und gehört auch in den Bereich der "Trivialmathematik" innerhalb der Zahlentheorie, d.h. zu den Dingen, die man auch in der Schule machen kann.

Grüße,
Cyrix
Franka_
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Anmeldungsdatum: 23.04.2008
Beiträge: 114

BeitragVerfasst am: 11 Mai 2008 - 13:26:36    Titel:

Ich habe jetzt nicht „elementar“ als synonym für „trivial“ verwendet.

Elementar bedeutet doch einfach nur: „ohne die Hilfsmittel anderer mathematischer Teilgebiete“.
- das bedeutet ja auch, dass der Gruppenbegriff nicht benutzen werden kann.
wobei das natürlich eine sehr strenge Auslegung ist. (vielleicht auch eine falsche?)
Es aber als algebraische Zahlentheorie zu bezeichnen, ist auch schon irgendwie frevelhaft.

Du hast aber recht, ich kann den Beweis auch anders führen. Ich kann ja auch beide bringen – wenn ich es zeitlich schaffe.. hmm ...


Der Satz von Euler ist natürlich ein Klassiker – hab auch schon drüber nachgedacht.


Ich denke noch ein wenig drüber nach


Dank euch für die Anregungen und Antworten
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