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Integrationsfrage zur e-Funktion und Sinus/Cosinus
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Desert Fox
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Anmeldungsdatum: 09.07.2007
Beiträge: 21

BeitragVerfasst am: 14 Mai 2008 - 15:15:12    Titel: Integrationsfrage zur e-Funktion und Sinus/Cosinus

Hallo,
folgendes Problem: Wie löse ich folgendes Integral?

Integral(0 -> Pi/2)[(-2cos(t))*e^(-2sin(t)) + (2sin(t))e^(-2cos(t)) + 4cos²(t) - 4sin²(t) dt]

Die Cosinus- und Sinus-Quadrate heben sich bei den Integrationsgrenzen auf, soviel ist mir klar. Nur was tue ich mit diesen sehr unhandlichen anderen Termen? Gibt es einen Trick, die in was handlicheres umzuformen, oder wie löse ich das Integral?
Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar.
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
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BeitragVerfasst am: 14 Mai 2008 - 15:23:27    Titel:

Die beiden Terme "- 2·cos(t) · exp{-2·sin(t)}" und "2·sin(t) · exp{-2·cos(t)}" raunen uns zu, dass sie aus Anwendung der Kettenregel bei Differentiation der exp(·)-Teile hervorgegangen sein müßen - evtl. noch Vorzeichen prüfen - links davon sind jeweils die "inneren" Ableitungen zu sehen.
Das Pendant der Kettenregel für die Integration heißt "Substitution", z. B. für den ersten Term "u := sin(t) →t = asin(u) →dt = 1÷√{1-u²} ·du", ferner "cos(t) = √{1-u²}".
Vor Integration der beiden Terme rechts empfiehlt sich Anwendung der trig. Identität cos²(x)-sin²(x) = cos(2 ·x) [entsprechend Tschebyschow-Polynom 1.Art T2(x) = 2 ·x²-1].

EDIT: Sorry, ich hatte zuvor von partieller Integration gesprochen. Das war eine Begriffsverwechsltung, ich hätte gleich die Substitution erwähnen sollen.


Zuletzt bearbeitet von xeraniad am 14 Mai 2008 - 16:15:31, insgesamt 3-mal bearbeitet
Desert Fox
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Anmeldungsdatum: 09.07.2007
Beiträge: 21

BeitragVerfasst am: 14 Mai 2008 - 15:46:57    Titel:

Uh, also manchmal ist man wirklich wie vernagelt. Embarassed
Zwar sind die Vorfaktoren nicht durch Differentiation hervorgegangen, sondern durch einsetzen, aber trotzdem hätte ich das durchaus allein sehen können. Confused
Ganz koscher kommt mir das aber trotzdem nicht vor. Ich habe jetzt so partiell integriert, dass ich [ausgehend von der Form Integral(u'v)=uv-Integral(uv')] u' := - 2·cos(t) · exp{-2·sin(t)} und v := 1 gesetzt habe. Damit ist v' = 0 bleibt also [exp{-2·sin(t)}](0 -> Pi/2).

Zusammen mit dem anderen Integral komm ich dann auf (exp{-2} - 1) + (1 - exp{-2}) = 0

Ist das richtig? Mir kommt das komisch vor, weil ich damit das Arbeitsintegral von einem Vektorfeld, das kein Gradientenfeld ist, entlang einer Kurve berechnet habe. Und da sollte doch eigentlich nicht 0 rauskommen, oder?
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
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BeitragVerfasst am: 14 Mai 2008 - 16:01:11    Titel:

Ich hab Stammfunktion "exp{-2·sin(t)}+exp{-2·cos(t)}+2·sin(2·t)" und das bestimmte Integral wird auch Null. Ist das etwa Zufall, daß hier das Linienintegral Null wird, auch wenn das Vektorfeld nicht konservativ war? Ist der Integrationsweg speziell gewählt (bin gerade nicht sicher, ob hierzu eine generelle Aussage gemacht werden kann)?

EDIT: Derzeit empfinde ich die partielle Integration hier als fast etwas zu elegant, denn sie produziert exakt die gleiche wie die gestellte Frage (hier nochmals der 2. Term):
Code:

 ∫  1  ·    2·sin(t)·exp{-2·cos(t)} ·dt = 1 · exp{-2·cos(t)} - ∫0 · exp{-2·cos(t)}·dt  (+const)
    ↓                 ↑
    0           exp{-2·cos(t)}

oder habe ich Dein Vorgehen nicht richtig verstanden?


Zuletzt bearbeitet von xeraniad am 14 Mai 2008 - 16:35:53, insgesamt 2-mal bearbeitet
Desert Fox
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Anmeldungsdatum: 09.07.2007
Beiträge: 21

BeitragVerfasst am: 14 Mai 2008 - 16:27:21    Titel:

Ja, ich komm auf die selbe Stammfunktion, auch wenn ich es über die partielle Integration gemacht habe. Erscheint mir auch einfacher, als mit Substitution.
Also ob das Zufall ist? Keine Ahnung. Am besten ist es vielleicht wenn ich mal kurz die Aufgabe aufschreibe. Vielleicht ergibt sich dadurch ein Denkfehler meinerseits. Oder es ist halt wirklich ein Zufall. Wink

Zitat:
Gegeben ist F(x,y) := [(exp{x} + y), (exp{y} - x)]^T
(Die transponierte Notation ist nur zu besseren Lesbarkeit)

a) Prüfen Sie, ob F ein Gradientenfeld ist.

b) Berechnen Sie das Arbeitsintegral von F entlang des Kreises um den Nullpunkt mit Radius 2 von (0,-2) nach (-2,0)


Über den Satz von Schwarz läßt sich ja sehr leicht feststellen, dass F nicht konservativ ist.
Dann habe ich die Kurve mit g(t) := [(-2sin(t)), (-2cos(t))]^T parametrisiert und dann entsprechend das Arbeitsintegral über den Viertelkreis von 0 bis Pi/2 gebildet, indem ich g(t) komponentenweise für x und y in F eingesetzt habe und mit der Ableitung von g(t) multipliziert habe. Das Integral sieht also so aus:

W = Integral(0 ->Pi/2)[ [exp{-2sin(t)} - 2cos(t)), exp{-2cos(t)} + 2sin(t)]^T * [-2cos(t), 2sin(t)]^T dt

Damit komme ich dann ausmultipliziert auf das Integral von oben. Aber ich seh in meinem Ansatz keinen Fehler. Confused
xeraniad
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Beiträge: 1890
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BeitragVerfasst am: 14 Mai 2008 - 16:44:12    Titel:

http://de.wikipedia.org/wiki/Konservative_Kraft → ∂÷∂y {exp(x)+y} = 1, ∂÷∂x {exp(y)-x} = -1: 1 ≠ -1 → nicht konservativ (kein Gradientenfeld).

Wäre der Weg geschloßen, dürften wir erwarten, daß das Arbeitsintegral (für die meisten Weg-Formen?) bei einem nicht konservativen Feld nicht null wird.
Da hier bloß ein Viertelkreis vorliegt, darf das Arbeitsintegral für dies offenbar spezielle Wegstück Null werden.

Werte ich das Integral von 0 bis 2·π aus, so erhalte ich allerdings auch Null Crying or Very sad, und jetzt weiß ich nicht mehr weiter.


Zuletzt bearbeitet von xeraniad am 14 Mai 2008 - 17:30:38, insgesamt einmal bearbeitet
Desert Fox
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BeitragVerfasst am: 14 Mai 2008 - 17:05:56    Titel:

Hm, das ist wirklich eigenartig. Die Untersuchung zur Konservativität hab ich genauso wie du gemacht. Aber das auch über das Integral von 0 bis 2Pi Null rauskommt ist merkwürdig. Confused
An dem Punkt hab ich jetzt auch keine Idee mehr. Sad

Zur partiellen Integration:
Ja, das ist schon recht elegant. Kommt aber doch das gleiche raus wie bei dir. Ich hab das Integral nur auseinander gezogen und betrachte es summandenweise.
Letztendlich kann man sich auch die partielle Integration sparen, denn im Prinzip steht da doch (wenn ich einen exp{}-Term separat betrachte):

Integral[a*exp{at} dt] und die Lösung davon ist exp{at}

Das haben wir doch beide auch raus. Nur das man das auch einfach direkt hätte sehen könne, ohne Umwege über Substitution oder part. Integration. Oder spinn ich jetzt?
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
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BeitragVerfasst am: 14 Mai 2008 - 17:12:17    Titel:

Gut, nur daß bei unserem Beispiel Dein a nicht eine Konstante, sondern eine Funktion ist.
Aber wenn man das einfach gleich so sieht, wie z. B. auch bei der logarithmischen Integration von -tan(x), wo man sieht, dass der Zähler -sin(x) gleich der Ableitung des Nenners cos(x) ist, und dass die Stammfunktion daher gleich ln("Nenner") ist, dann ist das gemäß meiner Ansicht auch OK.
Aber daß man für dies nicht konservative Feld für das geschloßene Linienintegral Null erhält, liegt evtl. dennoch am offenbar speziellen Integrationsweg? Immerhin sagt "konservativ" aus, dass das Linienintegral für alle geschloßenen Wege Null ist. Negieren wir diese Aussage, erhalten wir lediglich, daß das Linienintegal bei nicht konservativem Feld nicht für alle geschloßenen Wege Null sein muß (analog der De Morgan-Regel für die Negation boolescher Ausdrücke: da wird aus dem "und" auch ein "oder", hier: die Negation von "alle" heißt "nicht alle" [nicht "keine"]).
schönen Abend Very Happy
Desert Fox
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Anmeldungsdatum: 09.07.2007
Beiträge: 21

BeitragVerfasst am: 14 Mai 2008 - 19:35:13    Titel:

Ich denke, du hast absolut recht mit der Argumentation, dass es laut Umkehrung der Definition durchaus Linienintegrale geben kann, die Null ergeben. Very Happy Aber da muss man auch erstmal drauf kommen.

Dass ich a geschrieben habe, anstelle einer Funktion ist natürlich formell so ganz und gar nicht richtig. Aber wir haben uns ja trotzdem verstanden. Wink

Also danke nochmal für deine Hilfe und dir auch einen schönen Abend.
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