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Durschnittswert einer Funktion in einem definierten Bereich
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Durschnittswert einer Funktion in einem definierten Bereich
 
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derdasallesprogrammiert
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Anmeldungsdatum: 23.01.2005
Beiträge: 26
Wohnort: Heilbronn

BeitragVerfasst am: 01 Apr 2005 - 20:45:50    Titel: Durschnittswert einer Funktion in einem definierten Bereich

Hallo Zusammen,

gibt es irgendeine Möglichkeit wie ich möglichst zeitsparend das Durchschnittsergebnis einer Funktion in einem bestimmten Bereich ohne eine ellenlange Wertetabelle ermitteln kann? In diesem Fall geht es um die Ermittlung des durchschnittlichen Radiuses des Krümmungskreises einer kubischen Funktion.

Danke schon mal für Eure Antworten!

Ciao,

Timo
Faulus
Gast






BeitragVerfasst am: 01 Apr 2005 - 20:56:11    Titel:

hmm ich weiss jetz nicht ob es dir hilft, oder ob es ueberhauot so geht,

aber hab da so nen gedanken...

angenommen: f(x) = 3*x^3+3 und wir wollen den durchschnittswert
von x = 0 bis x= 10 haben.

soo, jetz lassen wir den ordinatenabschnitt +3 ersma beiseite, der kann
ja später einfach wieder hinzuaddiert werden zum durchschnittswert.

soo nun haben wir 3*x^3

Jetzt würde ich den Flächeninhalt von x = 0 bis x = 10 ausrechnen
und dann versuchen die Fläche mit einem rechteck, mit den seitenlängen
x = 10 und y = ? (y ist dann durchschnittswer, genauer y + 3 ,p) nachzubilden.

also hier:

Stammfunktion: 3/4x^4
Flächeninhalt: 3/4*10^4 - 0 = 7500

=> y = 7500 / 10 = 750

Durchschnittswert der Funktion zwischen 0 und 10: 750+3 = 753

cu...
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 01 Apr 2005 - 21:46:09    Titel:

Der Durchschnitt einer kontinuierlichen Funktion kann nicht mit einer Wertetabelle ermittelt werden, wenn er definiert ist durch

m_{a,b}(f) = int_{i=a}^b f(t) dt / (b-a)

Dazu muß man auf jeden Fall die Funktion integrieren können.

1. Im polynomiellen Fall, wie es hier der Fall zu sein scheint, ist die Fragestellung trivial (identisch für integrierbare Funktionen).

a) Berechne eine Stammfunktion F_c(x) der gegeben Funktion
b) Berechne (F_c(b) - F_c(a))/(b-a)

Die Komplexität ist für Polynome sehr moderat (O(1)), solange die Funktion dieselbe ist, denn die Auswertung eines Polynoms involviert lediglich eine kontante Anzahl von Operationen.

2. Falls die Funktion nicht integrierbar im Interval, so kann man nur eine Näherung mit diesem Verfahren bestimmen. Dazu sollte man die Funktion mit Polynomen approximieren (AUF KEINEN FALL INTERPOLIEREN). Dann ist die Situation "siehe 1" Smile

Hoffe geholfen zu haben.
derdasallesprogrammiert
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Anmeldungsdatum: 23.01.2005
Beiträge: 26
Wohnort: Heilbronn

BeitragVerfasst am: 02 Apr 2005 - 10:02:41    Titel:

Hmmh, hört sich gut an Faulus und algebrafreak. Very Happy
Die Lösung von Faulus erscheint mir logisch. Nur, wie sieht die Stammfunktion von f(x)=((1+(b+2cx+3dx^2)^2)^1.5)/(2c+6dx)
Ich tippe das ich da irgendwas mit Partialbruchzerlegung machen muß, aber komm nicht drauf, wie das geht. Sad

Ciao,

Timo
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 02 Apr 2005 - 10:14:37    Titel:

Wenn ich die Lösung von Faulus anschaue, habe ich Probleme, 750 als Durchschnitt von y=3x³ für x von 0 bis 10 zu sehen.



Gruß
Andromeda
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 02 Apr 2005 - 10:50:09    Titel:

Hallo derdasallesprogrammiert,

suchst du die Stammfunktion zu f(x)=((1+(b+2cx+3dx^2)^2)^1.5)/(2c+6dx) aus einen speziellen Grund oder haben deine Funktionen nur ähnlichen Aufbau, so daß du immer wieder verschieden Funktionen ähnlicher Art hast.

Oder mal anders ausgedrückt, suchst du eine theoretische Lösung oder eine praktische für dein Problem.

Im zweiten fall solltest du über eine numerische Lösung deines Integrals nachdenken. Diese sind fast direkt im Internet abrufbar, so daß du nur die funktion austauschen mußt.

@Andromeda
die Lösung von Faulus entspricht auch der Lösung von algebrafreak 1.b) und ist ja auch klar nachvollziehbar. Der Mittelwert ist ja nunmal die Summe aller Werte durch die Anzahl der Werte. Der Übergang zum differentiellen ergibt damit numal das Integral durch den Bereich. Ich denke, dass die bildliche Darstellung täuscht.

Gruß
Dirk
Faulus
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Apr 2005 - 10:50:22    Titel:

Joa Hi

also meine Funktion lautete auch f(x) = 3x^3 + 3 @ Andromeda .p
(siehe oben)

Aber willst du das programmieren mit dem Durchschnittswert
@ derdasallesprogrammiert??
Denn wenn du es programmieren willst, ist vielleicht eine Wertetabelle
(annäherung an den Durchschnittswert) besser.
Denn wenn dieFunktion noch Nullstellen und Vorzeichenwechsel hat
wird es ziemlich kompliziert mit dem Durchschnittswert per Stammfunktion.

Ausserdem kann man den Durschnittswert, falls er irrational ist, eh nicht "genau" via pc ausrechnen. und ich glaube, Stammfunktion, Nullstellenberechnung, gucken ob die Nullstellen im Bereich liegen,
Vorzeichenwechsel gucken und das ganze rechnen, dauert länger und ist rechenintensiver als eine Wertetablle.

cu..
Gast







BeitragVerfasst am: 02 Apr 2005 - 10:57:59    Titel:

Aso, jetz raff cih es auch :D

du glaubst nicht, dass 750 bzw. 753 der Durchschnittswert ist sondern
meinst, er müsse viel höher sein :D @ andromeda

Das kommt halt dabei raus, wenn Ferrari das neue Auto 2 Wochen früher bringt :D
derdasallesprogrammiert
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Anmeldungsdatum: 23.01.2005
Beiträge: 26
Wohnort: Heilbronn

BeitragVerfasst am: 02 Apr 2005 - 11:44:27    Titel:

Servus zusammen,

bin überrascht von der tollen Resonanz! Very Happy

Also die Funktionen sind immer in der selben Art. Ich könnte statt den Radius des Krümmungskreises auch die durchschnittliche Krümmung berechnen, also aus der Formel das Integral ziehen und danach einfach den Radius berechnen (ist einfach nur der Betrag des Kehrwerts).
Die Formel für die Krümmung ist im allgemeinen so: K=f''(x)/(1+(f'(x))^2)^1.5
(siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%BCmmung)
Mit den eingesetzten Ableitungen (mit f(x)=a+bx+cx^2+dx^3)
wäre die Formel so: f(x)=(2c+6dx)/((1+(b+2cx+3dx^2)^2)^1.5)
Vorzeichenwechsel kann ich ausschließen, im zu berechnenden Intervall ist die Krümmung entweder ausschließlich negativ oder positiv. Allerdings wird die Krümmung am Ende und am Anfang des Wertebereichs of sehr gering bzw. Radius des Krümmungskreises sehr hoch.
Wertetabelle ist deshalb schwierig, da ich sehr viele Werte nehmen müßte, damit mir die extremen Anfangs- und Endwerte nicht den Durchschnitt versauen.
Beispiel:
f(x)=-190.07837+8.960887x-0.12462109x^2+0.00052691181x^3
Radius von x=60.632 bis x=78.837
r(x=60.632)=20.472, r(x=69.7345)=66.226, r(x=78.837)=6.4771*10^+08

Ciao,

Timo[/url]
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 02 Apr 2005 - 13:13:38    Titel:

Zitat:
Denn wenn die Funktion noch Nullstellen und Vorzeichenwechsel hat wird es ziemlich kompliziert mit dem Durchschnittswert per Stammfunktion.


@Faulus: könntest Du ein Beispiel dafür nennen? Es geht ja nicht um Fläche, sondern um den Durchschnitt der Werte und der kann ja auch negativ sein. Verstehe ich da was nicht?

Zitat:
Ausserdem kann man den Durschnittswert, falls er irrational ist, eh nicht "genau" via pc ausrechnen.


Das Verfahren oben ist ja gerade so aufgebaut, daß man (zumindest im Fall eines Polynoms) in Q bleibt. Sonst habe ich immer Angst, und das aus gutem Grund, daß sich eine Rundung im Anfangsstadium so stark fortpflanzen könnte, daß das Ergebnis nicht mehr wieder zu erkennen ist.

@derdas...iert Dein Problem ist mir lange schon bekannt. Es taucht immer dann, wenn man Aussagen über Längen (bzw. Normen) machen möchte. Leider weiß ich aus Erfahrung, daß die meisten Computeralgebrasysteme mit symbolischer Integration einer solchen Funktion mit Wurzeln usw. nicht fertig werden. Daher muß man da tief in die Trickkiste greifen:

Die meisten Methoden der numerischen Integration verwenden eine Abschätzung der Eingabefunktion um dann das Integral einfach zu berechnen, sei es Newton-Cotes-Integration mit stückweiser Interpolation, Gauss-Quadraturen oder andere Approximationsmethoden, wie etwa die mit Orthonormalbasen, die ich empfehle. Dabei ist stets von interpolierenden Methoden abzusehen, denn diese sind meistens aus der Sicht der Differentialen-Fehleranalyse nicht mit der Eingaberundung verträglich. Vor allem nicht bei dichter Auswahl der Interpolationspunkte.

Die Theorie zu Orthonormalbasenapproximation habe ich auf Papier. Leider ist man da als nicht Mathematiker oder als Informatiker mit Bildverarbeitungskenntnisen leicht aufgeschmissen. Die Methode sollte allerdings recht gut sein, denn das Wurzelziehen aus Polynomfunktionen "verträgt sich" (zumindest bei positiv definiten Polynomen) mit der Kurvenform. Wenn Dich eine Lösung, die aufgeschrieben nur eine Matrix aus ein paar Werten ist, interessiert, so könnte ich mal versuchen am Ende des Monats, nachdem ich meine Dipl abgegeben habe und den Rausch ausgeschlaffen habe das mal zu machen.

Am sonsten würde ich eine einfache numerische Integration, wie Newton-Cotes 2-Grades (Simpson regel) vorschlagen. Da gibt es ja C++ Bibs.
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