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Partialbruchzerlegung2
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!Alaska!
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Anmeldungsdatum: 01.06.2008
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 01 Jun 2008 - 23:21:10    Titel: Partialbruchzerlegung2

Hey, also mit der Partialbruchzerlegung hab ich so meine Probleme..folgende Frage:Ich habe (ax+b)/(x-x1)(x-x2) =A/(x-x1)+B(x-x2) durch Umformen erhält man ja dann ax+b=A(x-x2)+B(x-x1) und dann ax+b=(A+B)x+(-Ax2-Bx1) und dann kommt doch folgendes a=A+B b=-Ax2-Bx1 Aber wieso ist das so?Und warum nicht andersrum? Und was versteht man hier unter A und B eigentlich?
ich brauch immer ne weile bis ich so was kapiere..aber danke im voraus!!
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 01 Jun 2008 - 23:44:11    Titel:

A und B sind Variablen, wir stellen eine solche Gleichung auf:

(mx + b)/((x - x1) * (x - x2)) = A/(x - x1) + B/(x - x2)

Nun multiplizieren wir auf beiden Seiten mit (x - x1) * (x - x2)
m * x + b = A * (x - x2) + B * (x - x1)
m * x + b = A * x - A * x2 + B * x - B * x1
m * x + b = (A + B) * x - A * x2 - B * x1

Nun sehen wir blau markiert auf beiden Seiten die Koeffizienten von x, wenn die Funktionswerte für alle x gleich sein sollen, müssen die Koeffizienten gleich sein. Ebenso müssen die Absolutglieder gleich sein [rot markiert].

Wir erhalten daraus also folgendes Gleichungssystem:
m = A + B
b = - A * x2 - B * x1

2 Gleichungen, 2 Variablen -> Dieses Gleichunggssystem löst du [nach A und B], kannst A und B anschließend in die erste Gleichung einsetzen und hast deine Partialbruchzerlegung Wink
!Alaska!
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Anmeldungsdatum: 01.06.2008
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2008 - 12:05:11    Titel:

Hey, ok das versteh ich jetzt, danke nochmal! Very Happy Es sind aber weitere Fragen aufgetaucht. Folgendes: h(x)=(ax^2-bx+c)/((x+2)(x-3)^2)=a/(x+2)+b/(x-3)+c/((x-3)^2) Ich hätte gedacht man schreibt einmal im Nenner (x-3) und (x+3) im andern. Warum steht da (x-3)^2? Und wie zerlegt man diesen Bruch mit drei Variablen im Zähler? also einmal A, B und dann C?Und was ist wenns mehr sind?
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2008 - 14:47:06    Titel:

(a·x²-b·x+c)÷[(x+2)·(x-3)²] = A÷(x+2) +B÷(x-3)² +C÷(x-3)
Der rote Term wird gebraucht, weil 3 eine doppelte Nullstelle ist (http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung). Fehlt dieser Term, so gelingt keine PBZ (ausser in Spezialfällen).
Es sind die drei Partialbruch-Koeffizienten A, B und C zu ermitteln (diese sollen nicht a, b, oder c bezeichnet werden, weil es sonst eine Kollision gibt).
(a·x²-b·x+c)÷[(x+2)·(x-3)²] = A÷(x+2) +B÷(x-3)² +C÷(x-3)

Multiplikation mit Hauptnenner "(x+2)·(x-3)²":

a·x²-b·x+c = A·(x-3)² +B·(x+2) +C·(x+2)·(x-3)
Da könnte jetzt ausmultipliziert, sortiert und Koeffizientenvergleich durchgeführt werden. Anschliessend hat man ein LGS mit 3 Gleichungen u. ebensovielen Unbekannten.

Es ist interessant, festzustellen, was geschieht, wenn bei der Gleichung oben die Nenner-Nullstellen für x eingesetzt werden.
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