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e-Fkt. mit zwei Unbekannten - Tangente oder Normale?
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> e-Fkt. mit zwei Unbekannten - Tangente oder Normale?
 
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Matheklaas
Gast






BeitragVerfasst am: 04 Apr 2005 - 18:56:52    Titel: e-Fkt. mit zwei Unbekannten - Tangente oder Normale?

Goede middag,

ich bräuchte die Lösung zu folgenden Teilaufgaben.

Gegeben sei die Fkt. f(x)=e^(1-tx), [t element R ungleich 0. ]

a) Für welchen Wert von t geht die Normale an den Graphen G(f) im Punkt (0/e) durch den Punkt (1/1) ?

b) Für welchen Wert von t geht die Tangente an den Graphen G (f) an der Stelle 1 durch den Koordinatenursprung?

wäre schon sehr dankbar für einen reinen Lösungsansatz, weil mir der Kram mit Tangente und so nicht wirklich liegt.
Muss man da mit mit der Steigung die fkt von der Tangente rausbekommen und mit n=-1/m (wenn m die Tangente ist) die Normale berechnen? Wenn ja, kann bitte jemand auch die erste Ableitung posten, weil ich mir da auch nicht sicher bin.

Danke!!!
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 04 Apr 2005 - 20:06:05    Titel:

a)

Die Normale geht durch die Punkte (0/e) und (1/1), also hat sie die

Steigung m= -(e-1).

Die Funktion e^(1-tx) hat dieAbleitung (Steigung)

f'(x) = -te(1-tx) => an der Stelle x = 0 ist f'(0) = -te.

Die Normale steht senkrecht zur Funktion, also gilt

m = -1/f'(0) => (e-1) = -1/(te) => t = -(e-1)*e = -1/(e²-e)=-0,2141

t = -0,2141




Gruß
Andromeda
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 04 Apr 2005 - 20:42:41    Titel:

b)
Tangente geht durch (0/0) und (1/f(1)) = (1/e^(1-t)) => Tangente hat

Steigung e^(1-t)

muss gleich der Steigung (Ableitung) der Kurve im Punkt 1 sein

e^(1-t) = -t*e^(1-t) =>

t = -1



Gruß
Andromeda
Matheklaas
Gast






BeitragVerfasst am: 04 Apr 2005 - 20:52:40    Titel:

super, danke für die Lösung

Ich habe es auch mal probiert, aber habe wohl was falsch gemacht:
zu a)

f´(x)=-t* e^(1-tx)

Wieso ist die Ableitung vom Exponenten nur t? x und t sind doch beides Konstanten?

aber demnach ist f`(0)= -t*e (=m)
und nach y=mx+n ist dann die Tangente an den Graphen:
f(x)=-te * x -te^2

Die Normale an den Graphen ist also -1/ -te(-1-te)

Durch probieren kann man dann die Stelle t=-1 finden. Frage: Wie kann man das rechnerisch lösen?

zu b) hier hab ich einfach in f(x) der Tangente den x Wert 1 eingesetzt und geguckt wo 0 rauskommt. Das t wäre dann 0.
Wie kann man das rechnerisch lösen? Ich habe es auch nur ausprobiert.
Oder reicht probieren?


Wieso kann ich bei a nicht einfach die Tangente mit y=mx+n berechnen und dann das ganze mit n=-1/Tangente?
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 04 Apr 2005 - 21:06:07    Titel:

Zitat:

f´(x)=-t* e^(1-tx)

Wieso ist die Ableitung vom Exponenten nur t? x und t sind doch beides Konstanten?


Nur t ist eine Konstante, x nicht, und -tx abgeleitet gibt -t.
Zitat:

aber demnach ist f`(0)= -t*e (=m)
und nach y=mx+n ist dann die Tangente an den Graphen:


Das ist richtig, aber es ist nicht die Tangente, sondern die Normale gesucht. Genaugenommen ist auch nicht die Normale, sonder nur der Wert für t gesucht.

Die Normale hat die Steigung m= -(e-1) und das muss gleich -1/f'(0) sein.


=> -(e-1) = 1/(t*e)

Dies kann man nacht t auflösen und erhält, wie vorher beschrieben,

t = -(e-1)*e = -1/(e²-e)=-0,2141

Also t wird nicht durch Probieren gefunden, sondern berechnet.

Der Graf selbst hat dan die Form

f(x) = e^(1+0,2141*x)

und die Normale

N(x) = -0,2141*x + e

Soviel zu Teil a). Um b) kümmere ich mich gleich noch.

Gruß
Andromeda
Matheklaas
Gast






BeitragVerfasst am: 04 Apr 2005 - 21:06:45    Titel:

Es reicht mir auch schon, wenn jemand erklärt wie man die Steigung m von der Normale m=-(e-1) berechnet!
Andromeda
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Beiträge: 1849
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BeitragVerfasst am: 04 Apr 2005 - 21:12:49    Titel:

Zitat:

zu b) hier hab ich einfach in f(x) der Tangente den x Wert 1 eingesetzt und geguckt wo 0 rauskommt. Das t wäre dann 0.
Wie kann man das rechnerisch lösen? Ich habe es auch nur ausprobiert.
Oder reicht probieren?


Wieso geguckt, wo 0 rauskommt?

Für x = 1 einsetzen ist Okay, dann bekommst du den Berührungspunkt der Tangente mit der Kurve.

f(1) = e^(1-t)

Somit ist die Steigung der Tangente

m = e^(1-t)

Dies muss gleich der Steigung der Kurve bei x = 1 sein

m = f'(1)

e^(1-t) = -te^(1-t)

dividiert durch e^(1-t) ergibt

1 = -t =>

t = -1

Also wieder nicht mit Probieren, sondern durch Berechnung.

Die Tangente hat dann die Gleichung

T(x) = e^(2) * x

Gruß
Andromeda
Matheklaas
Gast






BeitragVerfasst am: 04 Apr 2005 - 21:19:02    Titel:

erstmal danke! Ausführlicher gehts wohl nicht mehr! Very Happy

Aber wie kommst du jetzt auf die Steigung der Normalen m=-(e-1) ?????
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 04 Apr 2005 - 21:22:16    Titel:

Matheklaas hat folgendes geschrieben:
erstmal danke! Ausführlicher gehts wohl nicht mehr! Very Happy

Aber wie kommst du jetzt auf die Steigung der Normalen m=-(e-1) ?????



Kommt sofort, muss noch Grafik fertigen.

Gruß
Andromeda
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
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BeitragVerfasst am: 04 Apr 2005 - 21:31:15    Titel:

Hier mal die Grafik



Habe hier das Steigungsdreieck eingezeichnet. Die Steigung ist ja die Differenz der y-Werte durch Differenz der x-Werte.

m = (y2-y1)/(x2-x1)

x-Werte sind hier einfach, 0 und 1, somit ist die Differenz der x-Werte = 1

Da die Normale durch (0/e) und (1/1) geht, ist die Differenz der y-Werte = y2 - y1 = 1- e =-(e-1)

Somit ist die Steigung

m = (y2 - y1)/(x2-x1) = -(e-1)/1 = -(e-1)

Gruß
Andromeda
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