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Kurvendiskussion und Definitionslücke
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Gast







BeitragVerfasst am: 04 Apr 2005 - 19:17:31    Titel: Kurvendiskussion und Definitionslücke

Brauche dringend Hilfe.....

die aufgabe ist 1) F(x)=x3+4x2 – x - 4 UND UNTER DEM BRUCHSTRICH STEHT DANN:

x2-3x-4


und davon soll ich nun die definitionslücke angeben (+prüfen ob es sich um eine hebbare lücke oder um einen pol mit oder ohne vorzeichenwechsel handelt)!!

und 2) f(x)= x3 – 5x2 – 4x + 20 (und unter dem bruchstrich:)

x2 + 7x + 10

und dafür soll ich eine vollständige kurvendiskussion mit der funktion durchführen!!! und wie ihr euch vorstellen könnt, bin ich hoffnungslos überfordert...kann mir bitte,bitte,bitte jeman dhelfen?!ist sooo dringend....und sooo wichtig!!!!Bitte,bitte!!!
Lara
[/u]
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 04 Apr 2005 - 19:38:06    Titel:

Hi Lara,
zu 1.)
du zerlegst den Nenner in zwei Faktoren und versuchst den Zähler damit zu kürzen, an der Stelle an der das Kürzen ohne Rest aufgeht liegt eine hebbare Lücke in f(x):
hier so: x²-3x-4= (x-4)*(x+1)
(x³+4x²-x-4):(x-4) geht nicht auf
(x³+4x²-x-4):(x+1) geht auf: ergibt: x²+3x-4
damit ist f(x) nur noch folgender Ausdruck:
(x³+4x²-x-4)/[(x-4)(x+1)] = (x²+3x-4)/(x-4)

davon suchst du die Nullstellen: Zähler = 0 setzen ==> x²+3x-4=0 ==> x_1 = +4 und x_2 = -1

und bildest die Ableitung von f(x)
f'(x) = [(2x+3)(x-4) - (x²+3x-4)(1)]/(x-4)²

dann für die Extremwerte die Ableitung = 0 setzen, nur mit dem Zähler folgt: [(2x+3)(x-4) - (x²+3x-4)(1)] = x²-8x-8 = 0

soweit ok?

"sambalmueslie" darf dann weitermachen....


Zuletzt bearbeitet von aldebaran am 04 Apr 2005 - 19:45:41, insgesamt 3-mal bearbeitet
sambalmueslie
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Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 04 Apr 2005 - 19:39:59    Titel: Re: Kurvendiskussion und Definitionslücke

Anonymous hat folgendes geschrieben:
Brauche dringend Hilfe.....

die aufgabe ist 1) F(x)=x3+4x2 – x - 4 UND UNTER DEM BRUCHSTRICH STEHT DANN:

x2-3x-4


und davon soll ich nun die definitionslücke angeben (+prüfen ob es sich um eine hebbare lücke oder um einen pol mit oder ohne vorzeichenwechsel handelt)!!

[/u]


Also zu 1)
Definitionslücken entstehen, bei gebrochenrationalen Funktionen, wenn der Nenner 0 wird.

x2-3x-4 = 0
p,q Formel:
x1/2 = 1,5 +-Wurzel(9/4 + 16/4) = -1,5 +-Wurzel(25/4)
x1/2 = 3/2 +- 5/2
x1 = -1
x2 = 4

Polstellen:
wenn x^3+4x^2 - x - 4 <> 0 und x^2-3x-4 = 0 dann ist es eine Polstelle:
für -1: (-1)^3+4(-1)^2 - (-1) - 4 = -1 + 4 + 1 - 4 = 0 also keine Polstelle
für 4: 4^3+4*4^2 - 4 - 4 = 64 + 64 - 8 = 120 also Polstelle
bei x = 4 existiert eine Polstelle.

f(x>4) > 0
f(x<4) < 0 also mit Vorzeichenwechsel.

hebbare Lücke:
wenn x^3+4x^2 - x - 4 <> 0 und x^2-3x-4 = 0 und
lim x->x0 f(x) existiert
für -1: (-1)^3+4(-1)^2 - (-1) - 4 = -1 + 4 + 1 - 4 = 0

lim x->-1 f(x)
lim x->-1 (x^3+4x^2 - x - 4)/(x^2-3x-4) = ????
dndy882
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Anmeldungsdatum: 04.04.2005
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 04 Apr 2005 - 20:25:15    Titel:

Hi!

Kurvendiskussion ist schon ne Weile her bei mir, aber ich fang mal an:

Die Definitionslücken bekommst du, wenn du die Nullstellen für den Nenner ausrechnest:

1. Aufgabe: 0 = x^2 - 3x -4

ergibt nach abc- oder pq-Formel: x1 = -1, x2 = 4

bei Aufgbabe zwei genauso.

Ob an diesen Def.Lücken auch Polstellen sind, bekommst du durch Grenzwertbetrachtung raus:

Aufg. 1 mit x = x1: lim{x->-1) = 0/0 -> nicht bestimmbar!

Man kommt hier nicht weiter, wenn man nicht die Regel von Bernoulli und l'Hospital kennt

Die besagt nämlich, dass bei unbestimmten Grenzwerten eines Bruches der Grenzwert gleich ist mit dem wenn im Bruch Zähler und Nenner getrennt abgeleitet wurden. (Scheiße formuliert, ich weiß! Man kanns eigentlich nicht verstehen.) Deshalb in Formeln:

Wenn lim{x->x0} ( f(x) / g(x) ) = "0/0" oder "oo/oo" oder "-oo/0"...

Dann lim{x->x0} ( f(x) / g(x) ) = lim{x->x0} ( f'(x) / g'(x) )

Vorsicht! Nur wenn der Grenzwert unbestimmt ist. Wenn nicht, gilt die normale Quotientenregel!


Also ist der Grenzwert an der Stelle x1 = -1:

lim{x->-1} ( (3(-1)^2 + 8(-1) -1) / (2(-1) -3) ) = 1,2

So dürftest du durch die Aufgaben kommen.

Gruß Daniel
sambalmueslie
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Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 04 Apr 2005 - 21:16:11    Titel:

Hm ich mach jetzt einfach mal bei der nächsten weiter Wink
2)
f(x)= (x^3 – 5x^2 – 4^x + 20) / (x^2 + 7x + 10 )

Nullstellen:
(x^3 – 5x^2 – 4^x + 20) / (x^2 + 7x + 10 ) = 0
0 = (x^3 – 5x^2 – 4^x + 20)
x1 = 5
x2 = 2
x3 = -2

f(x1) = 0
f(x2) = 0
f(x3) = undefiniert!!!
N1(5|0) N2(2|0)
soweit mal Wink
sambalmueslie
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Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 04 Apr 2005 - 22:24:57    Titel:

Und weiter gehts:

lokale Extrema:
f(x)= (x^3 – 5x^2 – 4x + 20) / (x^2 + 7x + 10 )
(x^3 – 5x^2 – 4x + 20) = (x-2)(x+2)(x-5)
(x^2 + 7x + 10 ) = (x+5)(x+2)

f(x) = (x-2)(x+2)(x-5)/(x+5)(x+2)
f(x) = (x-2)(x-5)/(x+5)

f'(x) = (x^2+10x-45)/(x+5)^2

f''(x) = (2x+10)*(x+5)^2 - ( x^2+10x-45)*2(x+5) / (x+5)^4
f''(x) = (2x+10)*(x^2+10x+25)-( x^2+10x-45)(2x+10) / (x+5)^4
f''(x) = (2x^3 + 30x^2 + 150x + 250)-(2x^3 + 30x^2 + 10x - 450)/ (x+5)^4
f''(x) = 2x^3 + 30x^2 + 150x + 250 -2x^3 - 30x^2 - 10x + 450)/ (x+5)^4
f''(x) = (140x + 700)/ (x+5)^4
f''(x) = 140 / (x+5)^3

f'''(x) = -140*3(x+5)^2 / (x+5)^6
f'''(x) = -420/ (x+5)^4

0 = (x^2+10x-45)/(x+5)^2
0 = x^2+10x-45
x1/2 = -5 +-Wurzel(25 + 45)
x1 = 3,366 f''(x1) = 0,239 also Tiefpunkt
x2 = -13,36 f''(x2) = -0,239 also Hochpunkt

f(x1) = (3,366-2)(3,366-5)/(3,366+5)
f(x1) = -0,266
f(x2) = -33,73

T( 3,366 | -0,266) H(-13,36 | -33,73)

Wendepunkte:
f''(x) = 0
0 = (140x + 700)/ (x+5)^4
0 = 140x + 700
x = 5
f'''(5) = -420/ (5+5)^4 = -0,042 W(5|0)

ist ja ne lustige Aufgabe die du da hast Wink
sambalmueslie
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Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 04 Apr 2005 - 22:26:08    Titel:

Brauchst sonst noch was???
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