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Integralrechnung....
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Lukas21
Gast






BeitragVerfasst am: 05 Apr 2005 - 22:36:11    Titel: Integralrechnung....

Hallo alle zusammen....

Schreibe Donnerstag Mathe Klausur und brauche unbedingt Hilfe bei einer bestimmen Aufgabe:

1. Der Graph der Funktion f(x)=-1/6x³+x² schließt mit der x-Achse im Intervall [0;6] eine Fläche ein.

1.1. Bestimmen Sie den zur y-Achse parallelen Streifen der Breite 1, der aus dieser Fläche einen möglichst großen Teil ausschneidet.

1.2. Die Gerade durch den Wendepunkt von f und der rechten Nullstelle teilt die gegebene Fläche. Berechnen Sie das Verhältnis der Teilfächen.


Vielen Dank schonmal im Vorraus....


Mfg

lukas
sambalmueslie
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 05 Apr 2005 - 23:31:54    Titel: Re: Integralrechnung....

Lukas21 hat folgendes geschrieben:
Hallo alle zusammen....

Schreibe Donnerstag Mathe Klausur und brauche unbedingt Hilfe bei einer bestimmen Aufgabe:

1. Der Graph der Funktion f(x)=-1/6x³+x² schließt mit der x-Achse im Intervall [0;6] eine Fläche ein.

1.1. Bestimmen Sie den zur y-Achse parallelen Streifen der Breite 1, der aus dieser Fläche einen möglichst großen Teil ausschneidet.

1.2. Die Gerade durch den Wendepunkt von f und der rechten Nullstelle teilt die gegebene Fläche. Berechnen Sie das Verhältnis der Teilfächen.


Vielen Dank schonmal im Vorraus....


Mfg

lukas


1.1)
Fläche des Streifens = integral [f(b) bis f(b+1)] f(x) - b - f(x) - (b-1) dx
0 <= b <= 6

A = integral [f(b) bis f(b+1)] f(x)(- 2b + 1) dx
A = integral [f(b) bis f(b+1)] (-1/6x^3+x^2)(1-2b) dx
Stammfunktion
G(x) = (1-2b)(-1/24x^4+1/3x^3)

mal als Ansatz.

1.2)
Wendepunkt:
f(x) = -1/6x^3+x^2
f'(x) = -1/2*x^2 + 2x
f''(x) = -x+2
f'''(x) = -1
0 = f''(x)
0 = -x+2
-x = 2
x = 2
f(2) = -1/6 * 8 + 4 = -4/3 + 12/3 = 8/3
W(2|8/3)

Gerade durch W(2|8/3) und P(6|0)
8/3 = 2m + b
0 = 6m + b
b = -6m
8/3 = 2m - 6m = - 4m
m = - 2/3
b = 12/3 = 4
y = -2/3x + 4

Fläche 1:
int [0 bis 2] f(x) dx + int[2 bis 6] y dx
int [0 bis 2]-1/6x^3+x^2 dx + int[2 bis 6]-2/3x+4 dx
int [0 bis 2]-1/6x^3+x^2 dx [-1/24 x^4 + 1/3 x^3]
= -1/24 2^4 + 1/3 2^3 = 6/3 = 2 ok

int[2 bis 6]-2/3x+4 dx [-1/3x^2 + 4x]
= (-12+24)-(-4/3 + Cool
= 16/3

A1 = 2 + 16/3 = 22/3

Fläche 2:
int[2 bis 6]-1/6x^3+x^2 +2/3x - 4 dx [-1/24 x^4+1/3x^3 +1/3x^2 - 4x]
= (-1/24 6^4+1/3*6^3 +2/6*6^2 - 4*6)-(-1/24 2^4+1/3*2^3 +2/6 *2^2 - 4*2)
= (-56+ 72 +12 - 24)-(-2/3 +8/3 +4/3 - Cool = 6 + 14/3 = 32/3
A2 = 32/3

A1/ A2 = 22/3 * 3/32 = 11/16
Gast







BeitragVerfasst am: 07 Apr 2005 - 20:53:52    Titel: .......

Vielen Dank nochmal.....
Hat mir bei der Klausur sehr geholfen Wink

Mfg

lukas
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