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Stetigkeit partieller Ableitungen
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Lina
Gast






BeitragVerfasst am: 06 Apr 2005 - 15:43:25    Titel: Stetigkeit partieller Ableitungen

Hallo Leute!

Ich pauke gerade für eine Matheklausur und komme bei http://www.uni-koblenz.de/~heinrich/mfi3/serie02.pdf Aufgabe 5 irgendwie nicht so recht weiter:

Ich habe bereits die partiellen Ableitungen gebildet und bewiesen, dass f in R² stetig partiell differenzierbar ist.

Auch die partiellen Ableitungen für den Punkt (0,0) habe ich noch hinbekommen, weiss aber nun nicht wie ich beweisen oder wiederlegen soll, dass f in (0,0) stetig partiell differenzierbar ist.

Kann mir vielleicht einer von euch weiterhelfen? Ich würde mich über jede Idee freuen!

Viele Grüße,
Lina
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 06 Apr 2005 - 16:55:30    Titel:

Schreib deinen Lösungsweg mal hin. Ich bin mir nicht ganz sicher wo das "weiter" in "weiterhelfen" ist Smile Tip: Fange doch mal mit Stetigkeit an.
Gast







BeitragVerfasst am: 06 Apr 2005 - 17:20:27    Titel:

Also, bisher habe ich folgendes berechnet:

Für R²/(0,0) gilt: f ist Quotient zweier Polynome, daher auch stetig d.h. auf R²/(0,0) auch differenzierbar mit folgenden partiellen Ableitungen:

nach x: x^4+3x²y² / (x²+y²)²
nach y: -2yx / (x²+y²)²

Beide partielle Ableitungen sind wieder Quotienten von Polynomen, also auch wieder stetig. Damit ist f in R² stetig partiell differenzierbar.

Bleibt noch die Untersuchung im Punkt (0,0).
Bildet man die partiellen Ableitungen erhält man:

nach x: 1
nach y: 0

Wie beweise oder wiederlege ich jetzt, dass f im Punkt (0,0) stetig partiell differenzierbar ist?
algebrafreak
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BeitragVerfasst am: 06 Apr 2005 - 18:24:44    Titel:

Ok, schaut gut aus.

Zitat:

Also, bisher habe ich folgendes berechnet:

Für R²/(0,0) gilt: f ist Quotient zweier Polynome, die in R^2/(0,0) nicht null werden können, daher auch stetig d.h. auf R²/(0,0) auch differenzierbar mit folgenden partiellen Ableitungen:

nach x: x^4+3x²y² / (x²+y²)²
nach y: -2yx / (x²+y²)²

Beide partielle Ableitungen sind wieder Quotienten von Polynomen in R^2/(0,0) , also auch wieder stetig. Damit ist f in R² /(0,0)stetig partiell differenzierbar.

Bleibt noch die Untersuchung im Punkt (0,0).


Genau. Den Nachweis der Nicht-Stetigkeit geht meistens so, daß Du zwei Folgen a_n und b_) nimmst, die jeweils gegen (0,0) konvergieren und nachweisen kannst, daß die entsprechenden Funktionenwertefolgen f(a_n) bzw. f(b_n) nicht konvergieren, gegen verschiedene Werte konvergieren oder gegen den selben Wert konvergieren, aber nicht gegen f(0,0).

Ich habe ein paar Minuten über die Funktion nachgedacht, und stelle fest, daß ich kein solches Gegenbeispiel finden kann. Daher wird die vermutlich stetig sein. Die Stetigkeit der partiellen Ableitungen muß Du auch so zeigen. Sollte die Funktion partiell stetig diffbar in (0,0) sein, so ist die Stetigkeit geschenkt, denn total-differenzierbare Funktionen sind stetig.

Ich schaue mir die Aufgabe heute abend noch mal an. Hoffe zumindest ein wenig weitergeholfen haben.
Lina
Gast






BeitragVerfasst am: 06 Apr 2005 - 18:38:11    Titel:

*ordentlichinsgrübelnkomm*

Also die Folge (0,1/n) würde für n gegen unendlich gegen (0,0) konvergieren, oder?
Wenn man das in die partielle Ableitung nach x einsetzt, bekommt man als Ergebnis 0. 0 ist aber ungleich 1 was die partielle Ableitung nach x an der Stelle (0,0) ergibt.
Dann wäre jetzt die Folgerung, dass die partielle Ableitung an der Stelle (0,0) nicht stetig ist.
Hab ich das soweit richtig verstanden?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 06 Apr 2005 - 18:43:05    Titel:

Ja. (auf die erste Frage) Du wirst die partiellen Ableitungen falsch berechnet haben. Laut mupad:

Code:

>> diff(f,x)

                                2          4
                             3 x        2 x
                           ------- - ----------
                            2    2     2    2 2
                           x  + y    (x  + y )
>> diff(f,y)

                                      3
                                   2 x  y
                               - ----------
                                   2    2 2
                                 (x  + y )


Da kannst Du nicht einfach (0,0) einsetzen. Das geht krumm
Gast







BeitragVerfasst am: 06 Apr 2005 - 18:55:39    Titel:

Eigentlich bin ich mir ziemlich sicher die partiellen Ableitungen richtig berechnet zu haben:

x³ / x²+y²

nach x:
3x²(x²+y²)-x³(2x) / (x²+y²)²
=
3x^4+3x²y²-2x^4 / (x²+y²)²
=
x^4+3x²y² / (x²+y²)²

nach y:
0(x²+y²)-x³(2y) / (x²+y²)²
=
-2x³y / (x²+y²)²

Für den Unstetigkeitsbeweis im Punkt (0,0)habe ich das jetzt wie folgt verstanden:
Ich habe die Folge (0, 1/n) in die x-Ableitung eingesetzt, denn die Folge konvergiert gegen 0, das ergibt dann 0. 0 ist aber ungleich 1, was die partielle Ableitung nach x an der Stelle (0,0) ergibt.
Daraus kann man jetzt folgern, dass die partielle Ableitung nach x im Punkt (0,0) unstetig ist?
algebrafreak
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BeitragVerfasst am: 06 Apr 2005 - 19:04:57    Titel:

Tut mir leid. Habe die Ableitungen nicht angeschaut.

Zitat:
was die partielle Ableitung nach x an der Stelle (0,0) ergibt.


Wie hast Du den Wert bestimmt? Einsetzen geht ja nicht, da im Nenner 0 rauskommt.

(x^4+3x²y²) / (x²+y²)²

Du meinst es schon so, oder?
Gast







BeitragVerfasst am: 06 Apr 2005 - 19:15:28    Titel:

(x^4+3x²y²) / (x²+y²)² ja, so meinte ich das. Bin es nicht gewohnt das Klammern zu müssen, für gewöhnlich schreibe ich das ja ordentlich mit Bruchstrich Rolling Eyes Laughing

Meines Wissens nach kann man die partiellen Ableitungen im Punkt (0,0) nach folgender Formel berechnen:

lim(h->0) [ (f(0,0)+he1)-f(0,0)) / h ] (wobei e1 Einheitsvektor)

In diesem Fall bedeutet das nach x:
lim [(f(h,0)-f(0,0)) / h]
=
lim [(h³ / h²+0) / h]
=
lim [h³/h³]
=
1

und nach y:
lim [(f(0,h)-f(0,0)) / h]
=
lim [(0-0) / h]
=
0
algebrafreak
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BeitragVerfasst am: 06 Apr 2005 - 19:37:04    Titel:

Man lernt nie aus. Ich habe das mit den Richtungsableitungen echt vergessen. So, wie es aussieht

lim->(x,y)->(0,0) d_x f (x,y)

existiert nicht. Somit ist die Funktion nicht stetig partiell diffbar. D.h. da mußt Du mit der Stetigkeit wirklich mit epsilon und delta ranklotzen Sad
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