Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Sinus Kosinus
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Sinus Kosinus
 
Autor Nachricht
judo-60kgtvh
Gast






BeitragVerfasst am: 06 Apr 2005 - 23:37:22    Titel: Sinus Kosinus

Habe ein Problem mit den Trigonometrischen Funktionen.

Bei den Normalen Sinusfunktionen und Kosinusfunktionen, deren Wellenlänge genau sin x wie setze ich da die Funktion = 0?Stimmt das? Siehe das Beispiel unten!

wie bekomme ich Nullstellen bei verschobenen (links.rechts, nach oben und unten) hin?

Ich habe nur verstanden, dass man bei normalen Sinus und Kosinusfunktionen die Nullstellen der normalen Funktionen allgemein hinschreiben kann also z.B

sin(X) = k * pi
cos (x) = k/2 * pi
mkk
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 05.04.2005
Beiträge: 483

BeitragVerfasst am: 07 Apr 2005 - 02:19:27    Titel:

Am einfachsten (finde ich!) geht das am Einheitskreis:
Beobachte die y-Koordinate (Sinuswert) eines Punktes auf dem Kreis um den Ursprung mit Radius 1, während dieser Punkt gegen den Uhrzeigersinn auf dem Kreis läuft. Start ist im Punkt (1/0), also auf der Abszisse.
Die y-Koordinate des Punktes ist dann der Sinus, der zu dem Winkel gehört, den die positive x-Achse mit der Verbindungslinie von Punkt und Ursprung einschließt.
Dann ergibt sich:

sin(0°) = 0, sin(90°) = 1, sin(180°) = 0, sin(270°) = -1, sin(360°) = 0 usw.

Das bedeutet, daß der Sinus jeweils nach 180° wieder 0 wird.
Gibt man den Winkel statt in Grad im Bogenmaß an, entspricht das Argument "Pi" gerade dem Winkel von 180°.

Also kann man damit sagen:
für alle natürlichen Zahlen k ist sin(k*Pi) = 0.

Läßt man auch die Drehung im Uhrzeigersinn zu ("negative Winkel"), ergibt sich dieselbe Aussage sogar für alle ganzen Zahlen k.

Mit dem Cosinus (dasselbe Spiel mit der x-Koordinate des Punktes) ist es etwas anders (ich schreibe das Argument jetzt mal gleich im Bogenmaß):

cos(0) = 1, cos(Pi/2) = 0, cos(Pi) = -1, cos(3*Pi/2) = 0, cos(2*Pi) = 1 usw.

Du siehst, daß nicht für alle natürlichen Zahlen k gilt: cos(k/2*Pi) = 0, denn für gerade k kommt für k/2 eine ganze Zahl raus, wie z.B. für k = 4 => k/2 = 2 und cos(2*Pi) = 1.

cos(k*Pi/2) = 0 gilt also nur für alle ungeraden ganzen Zahlen k.

Zusammengefaßt gilt also:
sin(x) = 0 <=> x = k*Pi, k ganze Zahl
cos(x) = 0 <=> x = k*Pi/2, k ungerade ganze Zahl.

Verschiebt man die Funktionen nun in x-Richtung (Phase), kann man hieraus folgern:
sin(x+c) = 0 <=> x+c = k*Pi, k ganze Zahl <=> x = k*Pi - c, k ganze Zahl
und analog für den Cosinus.

Bei verkürzter/verlängerter Periodizität geht´s genauso:
sin(c*x) = 0 <=> c*x = k*Pi, k ganze Zahl <=> x = k*Pi/c, k ganze Zahl
etc.
Für |c| > 1 haben die beiden Funktionen also auf jedem endlichen Intervall mehr Nullstellen als die "normalen" Kollegen (kürzere Periode), für |c| < 1 weniger (längere Periode).

Verschieben in y-Richtung ist nicht so einfach, da dann die Abstände zwischen den Nullstellen nicht mehr konstant sind, d.h. es gibt zu jedem Minimum bzw. Maximum der Funktionen jeweils zwei "symmetrische" Nullstellen ...
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Sinus Kosinus
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum