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problem bei int ( 1/x^2*(x^3+1)
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> problem bei int ( 1/x^2*(x^3+1)
 
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sbmiles21
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Anmeldungsdatum: 06.06.2006
Beiträge: 461

BeitragVerfasst am: 09 Jul 2008 - 15:53:28    Titel: problem bei int ( 1/x^2*(x^3+1)

Hallo
Ich möchte folgendes intgral via Partialbruchzerlegung lösen:

int ( 1/ ( x^2*(x^3+1) )

1. Ich bestimme die Nullstellen des Nenners:

A. x^2 --> 0 und 0

B. (x^3+1) : ( x+1)=x^2-x+1

somit habe ich

-1
1
1

als Nullstelle

2. Brüche Aufstellen

A/x + B/x² + C/(x+1) + D(x-1) + C/(x-1)

Nun muss ich da die nenner der Brüche wegkürzen mit dem Nenner des integrals. ich verstehe aber nicht wie ich ( x-1) kürzen soll?
Für einen Tip wär ich dankbar


Gruss
One for one
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
Beiträge: 1034
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 09 Jul 2008 - 16:31:45    Titel: Re: problem bei int ( 1/x^2*(x^3+1)

sbmiles21 hat folgendes geschrieben:

-1
1
1

als Nullstelle



Woher kommen denn die positiven einsen?
Marin_Bukov
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Anmeldungsdatum: 17.12.2007
Beiträge: 345
Wohnort: Sofia

BeitragVerfasst am: 09 Jul 2008 - 16:50:06    Titel:

f = 1/((x^2(x+1)(x^2-x+1))

Partialbruchzerlegung:

1/((x^2(x+1)(x^2-x+1)) = (Ax+B)/x^2 + C/(x+2) +(Dx+E)/(x^2-x+1)

finde A,B,C,D,E, die fuer jedes x gelten Smile
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 09 Jul 2008 - 17:50:16    Titel: [; 0, 1, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3} ;]

Ansatz für PBZ (wie Marin_Bukov schrieb):
[; \frac{1}{x^2\cdot(x^3+1)} \ = \frac{A \cdot x + B}{x^2} \ + \frac{C}{x+1} +\frac{D \cdot x + E}{x^2-x+1} ;]
Multiplikation mit Hauptnenner ergibt
[; 1 \ = \ (A \cdot x + B) \cdot(x+1)\cdot(x^2-x+1) \ +C\cdot x^2 \cdot (x^2-x+1) \ +(D \cdot x + E)\cdot x^2 \cdot (x+1) ;]
bzw.
[; 1 \ = \ (A+C+D)\cdot x^4 \ +(B-C+D+E)\cdot x^3 \ +(C+E)\cdot x^2 \ +A \cdot x \ +B ;].
Koeffizientenvergleich und Lösen des Gleichungssystems (z. B. Elimination) ergibt [; A \ = \ 0 ;], [; B \ = \ 1 ;], [; C \ = \ \frac{1}{3} ;], [; D \ = \ - \frac{1}{3} ;] und [; E \ = \ - \frac{1}{3} ;].
...
Schema für quadratische Ergänzung: Einschieben des passenden Termpaars
[; x^2 - b\cdot x +\frac{b^2}{4} -\frac{b^2}{4} +c ;]
führt auf die Form
[; x^2 - b\cdot x +c \ = \ (x-\frac{b}{2})^2 -\frac{b^2}{4} +c;].

Anwendung:
[; \int \frac{1}{x^2-x+1} \cdot \mathrm{d} x \ = \ \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}+1} ;]

Substitution [; t \ := \ \frac{2}{\sqrt 3}\cdot(x-\frac{1}{2}) \ \rightarrow \ x\ = \ \frac{\sqrt3}{2}\cdot t +\frac{1}{2} \
\rightarrow \ \mathrm{d} x = \frac{\sqrt3}{2}\cdot \mathrm{d} t;] (das kann übersichtlicher mit 2 einzelnen Substitutionen gemacht werden)
[; \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2-\frac{3}{4}} \cdot \mathrm{d} x \ = \ \frac{2}{\sqrt 3} \cdot \int \frac{1}{t^2+1} \cdot \mathrm{d} t \ = \ \frac{2}{\sqrt 3} \cdot \mathrm{atan}(t) \ +const. ;].
Rücksubstitution liefert
[; \int \frac{1}{x^2-x+1} \cdot \mathrm{d} x \ \ = \ \frac{2}{\sqrt 3} \cdot \mathrm{atan}(\frac{2}{\sqrt 3}\cdot x-\frac{1}{ \sqrt 3}) \ +const. ;]
...
[; \int \frac{x}{x^2-x+1} \cdot \mathrm{d} x ;] so ergänzen, dass im Zähler die Ableitung des Nenners steht.
...
sbmiles21
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Anmeldungsdatum: 06.06.2006
Beiträge: 461

BeitragVerfasst am: 09 Jul 2008 - 19:00:20    Titel:

danke an alle

also die -1 habe ich aus (x^3+1)

1 und1 sind aus x^2-x+1
da kommt ja am ende was mit 1+/- sqrt(0) raus

ist das falsch?


Danke für den langen code und die Mühe, aber ich verstehe daraus nichts Rolling Eyes
One for one
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
Beiträge: 1034
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 09 Jul 2008 - 19:41:36    Titel:

sbmiles21 hat folgendes geschrieben:

1 und1 sind aus x^2-x+1
da kommt ja am ende was mit 1+/- sqrt(0) raus


Wirklich?

Setzt doch mal 1 in x^2-x+1 für x ein, da wird nichts 0, folglich ist 1 auch keine Nullstelle.

p-q-Formel
p=-1
q=1

x_1,2 = 0.5 +- Wurzel(0.25-1)

Da unter der Wurzel etwas negatives steht, gibt es keine weiteren reellen Nullstellen.

Du kannst zur PBZ den Ansatz von Marin_Bukov benutzen.

btw.
sbmiles21 hat folgendes geschrieben:

Danke für den langen code und die Mühe, aber ich verstehe daraus nichts


Wenn du als Browser den Firefox verwendest, kannst du den Links in xeraniads oder meiner Signatur folgen, um herauszufinden, was es mit den Codes auf sich hat.

Ich denke aber auch, dass man diesen Code nur benutzen sollte, wenn der Threadersteller seinen Anfangspost auch in LaTeX-Syntax geschrieben hat.

Edit:
Ich habe mal xeraniads Post als Bild kopiert, damit seine Arbeit nicht ganz umsonst war:
sbmiles21
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Anmeldungsdatum: 06.06.2006
Beiträge: 461

BeitragVerfasst am: 09 Jul 2008 - 20:10:52    Titel:

ahh suepr, danke

glaub jetzt ist es drin Smile

Danke

Gruss ben
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 10 Jul 2008 - 10:49:28    Titel: "Vereinfachungen"

Danke One for one (wollte bloss etwas Werbung für TeX machen Very Happy).
Für dieses Beispiel gibt es noch zwei (sich nicht gegenseitig ausschliessende) Anmerkungen.

1. Das Ausmultiplizieren nach Multiplikation des PBZ-Ansatzes mit dem Hauptnenner, Koeffizientenvergleich und Lösen des LGS verursacht (möglicherweise reduzierbaren) Aufwand. Multiplikation des Ansatzes mit dem Hauptnenner ergab die Gleichung 1 = (A·x+B)·(x³+1) + C·x²·(x²-x+1) + (D·x+E)·x²·(x+1). Von hier aus lässt sich ein möglicherweise schnellerer Weg einschlagen:
° Wird hier die Nullstelle 0 für x eingesetzt, folgt unmittelbar B = 1.
Wegen zweifacher Nullstelle kann die Gleichung noch einmal nach x differenziert werden (Produktregel): 0 = A·(x³+1)+(A·x+B)·2·x² + C·[x²·… + 2·x·…] +(D·x+E)·[x²·… + 2·x·…]. Wird hier nochmals 0 für x (und 1 für B) eingesetzt, folgt A = 0. Man erkennt, dass die Nullstelle nach der Differentiation immer noch alle Terme rechts ausser einem auslöscht.
° Wird -1 für x oben eingesetzt, folgt 1 = C·(1+1+1) → C = 1÷3.
° Mit ½+i·½·√3 für x eingesetzt liefert der Realteil der entstehenden komplexen Gleichung
D = -1÷3 und der Imaginärteil E = D = -1÷3 (die letzte Nullstelle ½-i·½·√3 ergibt die konjugiert komplexe Gleichung davon und damit keine neuen Erkenntnisse).

2. Der Ansatz für die PBZ kann leicht modifiziert werden, sodass der vierte gesuchte Koeffizient vor dem Zähler "2·x-1" (= Ableitung des Nenners) steht. Das ist für die anschliessende logarithmische Integration vorteilhaft. Der modifizierte Ansatz heisst 1÷[x²·(x³+1)] = (A·x+B)÷x² +C÷(x+1) +(C4·[2·x-1]+C5)÷(x²-x+1), dann wird C4 = -1÷6 und C5 = -½. (Solche Modifikationen können auch bei der Laplace-Transformation durchgeführt werden, wobei frühzeitige Anpassung an die Struktur bekannter Korrespondenzen die Rücktransformation erleichtern kann).
sbmiles21
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Anmeldungsdatum: 06.06.2006
Beiträge: 461

BeitragVerfasst am: 10 Jul 2008 - 20:56:16    Titel:

ok alles klar, habe verstanden. danke an alle für die Mühe

Gruss Ben
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