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Die (reele) dritte Wurzel einer Matrix berechnen
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Die (reele) dritte Wurzel einer Matrix berechnen
 
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chillahaze
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Anmeldungsdatum: 23.02.2008
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 09 Jul 2008 - 19:08:58    Titel: Die (reele) dritte Wurzel einer Matrix berechnen

hallo liebes forum,

ich habe wieder ein problem mit einer aufgabe.
sie lautet: berechen die (reele) dritte wurzel der matrix

A=
( 7 Wurzel6)
(Wurzel6 2 )

obwohl ich dachte ich hätte das themengebiet so einigermaßen verstanden weiss ich hier garnicht was ich damit anfangen soll..würde mich auf eine antwort freuen
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 10 Jul 2008 - 12:15:41    Titel:

Stichworte: Eigen-Werte und -Vektoren, Diagonalisierung.

Weißt du wie man das anstellt? Wenn du sie diagonilisiert hast, kannst du einfach A^(1/3) ausrechnen.
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 10 Jul 2008 - 12:17:44    Titel: [; A^{\frac{1}{3}} ;]

Matrix diagonalisieren und die 1÷3 -te Potenz [;\begin{bmatrix}
7 & \sqrt{6} \\
\sqrt{6} & 2
\end{bmatrix}^{\frac{1}{3}};] berechnen.
...
1÷3 für m einsetzen und nur die reellen dritten Wurzeln betrachten.
...
Allgemein gilt [; \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}^{m} = \begin{bmatrix}
S -d\cdot\frac{D}{\sqrt{r}}
& a_{12} \cdot \frac{D}{\sqrt{r}} \\
a_{21} \cdot \frac{D}{\sqrt{r}}
& S +d\cdot\frac{D}{\sqrt{r}}
\end{bmatrix};], wobei [; s \ = \ \frac{a_{11}+a_{22}}{2} ;], [; d \ = \ \frac{a_{22}-a_{11}}{2} ;], [; r \ = \ d^2+a_{12}\cdot a_{21} ;],
[; S \ = \frac{(s-\sqrt{r})^m + (s+\sqrt{r})^m}{2} ;] und [; D \ = \frac{(s+\sqrt{r})^m - (s-\sqrt{r})^m}{2} ;].
s = ½·9, d = -½·5, r = ¼·25+6 = ¼·49, √r = ½·7, s-√r = 1, s+√r = 8, S = ½·3, D = ½, D÷√r = 1÷7…
[; \begin{bmatrix} \frac{13}{7} & \frac{sqrt{6}}{7} \\ \frac{sqrt{6}}{7} & \frac{8}{7} \end{bmatrix}^3 \ = \begin{bmatrix} 7 & \sqrt{6} \\ \sqrt{6} & 2 \end{bmatrix} ;]


Zuletzt bearbeitet von xeraniad am 10 Jul 2008 - 14:40:17, insgesamt 14-mal bearbeitet
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 10 Jul 2008 - 12:21:39    Titel:

Wobei ich mir nicht ganz sicher bin, ob es nicht noch mehr Lösungen gibt, denn so gesehen will man ja ein Polynom dritten Grades lösen... Nimmt man die dritte Potenz einer beliebigen 2×2-Matrix, so würde man ein polynomielles Gleichungs-System erhalten, welches selten nur eine Lösung hat.
chillahaze
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Anmeldungsdatum: 23.02.2008
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 10 Jul 2008 - 14:32:10    Titel:

ich glaube ich habs verstanden wie das geht, danke für eure hilfe
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