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Fourierreihen
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crash3d
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Anmeldungsdatum: 03.06.2007
Beiträge: 19

BeitragVerfasst am: 11 Jul 2008 - 14:14:48    Titel: Fourierreihen

Hallo,

Ich hab ein Problem bei der Bestimmung von Fourierkoeffizienten wenn die Funktion zwar 2-pi periodisch ist aber nicht in dem Intervall [0;2pi] liegt.
(pi=3,14...)
Zum Beispiel [-pi/2 ; pi/2] f(x)= 2/pi *x
[pi/2 ; 3/(2*pi)] f(x)= -2/pi*x +2

Ich habe versucht die ungerade Funktion von [0;pi] zu integrieren es kam nicht die gewünschte Funktion dabei raus,ich bräuchte hier einen Ansatz.
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 11 Jul 2008 - 15:03:29    Titel: Integrationsgrenzen um Viertelperiode nach links schieben.

Es muss über eine Periode [; 2\cdot\pi ;] integriert werden, z. B. hier [; \underline{c}_k \ = \ \frac{1}{2\cdot\pi} \cdot \int_{-\frac{1}{4}\cdot 2\cdot\pi}^{\frac{3}{4}\cdot 2\cdot\pi} f(x) \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\cdot k \cdot x} \cdot \mathrm{d} x ;]
(Das Integrationsgrenzen-Paar darf für Fourier-Analyse beliebig geschoben werden).

Zur stückweisen Auswertung des komplexen Koeffizienten [;\underline{c}_k=\frac{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f_1(x)\cdot\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\cdot k\cdot x}\cdot\mathrm{d}x+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\cdot\pi}{2}} f_2(x)\cdot\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\cdot k\cdot x}\cdot\mathrm{d}x}{{2\cdot\pi};] mit [; f_1(x) = 2\cdot\frac{x}{\pi} ;] und [; f_2(x) = 2\cdot(1-\frac{x}{\pi}) ;]
werden die beiden Stammfunktionen [; \int \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\cdot k\cdot x} \cdot \mathrm{d}x \ = \ \mathrm{i}\cdot\frac{1}{k} \cdot\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\cdot k\cdot x} +const. ;] und [; \int x \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\cdot k\cdot x} \cdot \mathrm{d}x \ = \ (\frac{1}{k^2}+\mathrm{i}\cdot\frac{1}{k}\cdot x)\cdot\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\cdot k\cdot x} +const. ;] verwendet.

Mit den reellen Koeffizienten [; A_k = 2\cdot\mathrm{Re}(\underline{c}_k) ;] und [; B_k = -2\cdot\mathrm{Im}(\underline{c}_k);] kann die Fourier-Reihe [; f(x) \ = \ c_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \lbrace A_k \cdot cos(k\cdot x) + B_k \cdot sin(k\cdot x) \rbrace ;] angegeben werden: [; f(x) \ = \frac{8}{\pi^2} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2\cdot n+1)^2} \cdot sin(\lbrace 2 \cdot n+1 \rbrace \cdot x) ;].

Es gibt drei Fälle zu unterscheiden:
° k = 0: das arithmetische Mittel ist klar 0.
° für gerade k wird der Koeffizient 0
° für ungerade k nicht, aber imaginär (ungerade Funktion)

gnuplot:
Code:

set terminal png
set xrange [-pi/2:2*pi]
set yrange [-1:1]
set output 'fou.png'
plot 8/(pi**2)*(sin(x)-sin(3*x)/9+sin(5*x)/25-sin(7*x)/49+sin(9*x)/81)


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