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Frage zu Differentialgleichung
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wurzl
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Anmeldungsdatum: 06.11.2005
Beiträge: 1512

BeitragVerfasst am: 11 Jul 2008 - 16:11:48    Titel: Frage zu Differentialgleichung

Hallo Leute,

ich habe hier folgende Differentialgleichung:

y''-y'-2y=-3*e^(-x)

Wenn ich die Homogene Lösung berechne komme ich auf folgende Lamdas:

Lamda 1 = -1
Lamda 2 = +2

und damit auf die Homogene Lösung:

c1*e^(-x)+c2*e^(2x)

Für die rechte Seite wähle ich den direkten Ansatz:

-3*e^(-x)=B*e^(-x)

Das leite ich nun zweimal ab und setze es in meine DGL ein.

Nur steht dann blöderweise da:

0=-3*e^(-x)

Kann das sein ?

Was mache ich hier nur falsch ?

Danke für eure Antworten.

Gruß
wurzl
Marin_Bukov
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Anmeldungsdatum: 17.12.2007
Beiträge: 345
Wohnort: Sofia

BeitragVerfasst am: 11 Jul 2008 - 16:38:24    Titel:

HAllo!

Das fuehrt auf falsche Loesung, denn bei e^(-x), die -1, mit der x im Exponenten multipliziert ist, ist ne Loesung des charakteristischen Polynoms Smile

versuch's lieber mit x*e^(-x)
fas
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Anmeldungsdatum: 26.05.2005
Beiträge: 2086

BeitragVerfasst am: 11 Jul 2008 - 16:55:53    Titel:

Wenn die Störfunktion die form p(x)*e^(lambda * x) ist, p(x) ein Polynom vom Grad r und lambda ein Eigenwert der Multiplizität m>=0 ist (m=0 heisst, lambda ist gar kein Eigenwert), dann ist der Ansatz: yp(x)=q(x)*e^(lambda * x), q(x) ein Polynom vom Grad m+r. In deinem Fall ist m=1 und r=0, also ist dein Ansatz yp(x)=(Ax+B)*e^(-x).

Gruss
Marin_Bukov
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Anmeldungsdatum: 17.12.2007
Beiträge: 345
Wohnort: Sofia

BeitragVerfasst am: 11 Jul 2008 - 16:59:19    Titel:

Uebrigens bei inhomogenen DGL 2.Ordnung, bei denen der inhomogene Teil eine Funktion der Art: b*e^(ax) ist kannst du sehr schnell die partikulaere Loesung finden:

dazu stellt man d/dx - als Differentialoperator dar - D. Dann ist d^2x/dx^2 = D^2 Smile

somit wird die Gleichung zu: (qD^2 - rD - s)*y = be^(ax)
oder angenommen, p sei das charakterischsche Polynom: p(D)*y = be^(ax)

Dann lauet die partikulaere Loesung:
y_p = b*e^(ax)/p(a)

Bemerkung: falls a Loesung des char. Plolynoms sein sollte, dann sei p(a) = 0 im Nenner, was nicht def. ist. Deshalb nimmt man dabei den Ansatz:

p(a) = 0 und p'(a)=/ 0 => y_p = b*x*e^(ax)/p'(a) - wie im deinem Fall

=/ :lies ungleicht

jetzt noch Falls: p'(a) = 0, dann ist aber p''(a)=/ 0 und analog:
y_p = b*x^2*e^(ax)/p''(a)

Hinweis: fuer trigonometrische Funktionen, die mit der komplexen Exponentialfunktion der Form b*e^(ax) ausgedrueckt werden koennen gelten die obigen Regeln auch, nur man muss nachher Im- oder Re-Teil berechnen Wink

Gruesse, Marin
wurzl
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Anmeldungsdatum: 06.11.2005
Beiträge: 1512

BeitragVerfasst am: 11 Jul 2008 - 17:20:08    Titel:

Danke,

jetzt habe ich aber auch noch die Anfangswertbedingungen

y(0)=-1 und y`(0)=-7

ich kriege dann raus:

y=[(-1/3)*e^(-x)]-[(8/3)*e^(2x)]

Kann das sein ?

Wäre echt super wenn das jemand nachrechnen könnte.

Danke und Gruß
wurzl
sm00ther
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Anmeldungsdatum: 27.01.2008
Beiträge: 4451

BeitragVerfasst am: 11 Jul 2008 - 17:27:31    Titel:

Leite die Lösung 2 mal ab und setz sie in die DGL ein. So prüfst du es selbst!
wurzl
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Anmeldungsdatum: 06.11.2005
Beiträge: 1512

BeitragVerfasst am: 11 Jul 2008 - 17:34:49    Titel:

Sch... da kommt 0 raus, aber nicht -3*e^(-x)

Das sollte doch rauskommen oder ?
Marin_Bukov
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Anmeldungsdatum: 17.12.2007
Beiträge: 345
Wohnort: Sofia

BeitragVerfasst am: 11 Jul 2008 - 17:35:40    Titel:

y=[(-1/3)*e^(-x)]-[(8/3)*e^(2x)] - wo ist denn der Term xe^(-x) ?!
wurzl
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Anmeldungsdatum: 06.11.2005
Beiträge: 1512

BeitragVerfasst am: 11 Jul 2008 - 17:57:26    Titel:

Genau Marin,

da war der Fehler.

Die Lösung lautet

y=(10/3)*e^(-x)-(7/3)*e^(2x)+x*e^(-x)

Habs auch abgeleitet und wieder eingesetzt..kommt genau raus.


Danke an euch alle !!!!

Gruß
wurzl
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