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Warum ist (0!=1)?
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Warum ist (0!=1)?
 
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Goethe_fam
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Anmeldungsdatum: 13.03.2008
Beiträge: 362

BeitragVerfasst am: 12 Jul 2008 - 15:30:19    Titel: Warum ist (0!=1)?

Halli Hallo...
Ich habe eine Frage...Ich hab mir darüber schon Gedanken gemacht, komme aber zu keinem logischen Ergebnis Sad

Die Fakultät ist ja eine Funktion bei der jeder natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner oder gleich dieser Zahl zugeordnet wird.

Daraus folgt z.B.: 3! = 1*2*3 = 6

Aber warum ist dann 0! = 1? Müsste das denn nicht eigentlich 0 sein, weil man doch das Produkt von allen Zahlen kleiner als 0 bilden muss und das wäre doch auch wieder 0 oder nicht?

Ich würde mich freuen, wenn sich einige über dieses Thema auslassen würden...
Smile Smile liebe Grüße Smile [/b]
Mathe-Freak
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Anmeldungsdatum: 02.07.2007
Beiträge: 227

BeitragVerfasst am: 12 Jul 2008 - 15:38:00    Titel:

Das ist eine reine Definitionssache. Wäre 0!=0, dann gäbe es beim Binomialkoeffizienten ein Problem, nämlich Division durch 0:

Siehe Definition des Binomialkoeffizienten
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient
Paddyot
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Anmeldungsdatum: 11.04.2007
Beiträge: 117

BeitragVerfasst am: 12 Jul 2008 - 15:42:33    Titel:

Hallo!
Es lässt sich mit Hilfe der Gamma-Funktion zeigen, dass:
Gamma(x) = (x-1)! ist.
Da Gamma(1) = 1 ist, ist (1-1)! = 0! = 1 Wink

Die Gammafunktion ist definiert als
Gamma(x) = Int(0 bis unendlich) t^(x-1) * exp(-t) dt

MfG, Paddyot
Goethe_fam
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Anmeldungsdatum: 13.03.2008
Beiträge: 362

BeitragVerfasst am: 12 Jul 2008 - 15:47:15    Titel:

Danke, dass ihr so schnell geantwortet habt Smile

Ich sehe schon, es gibt verschiedene Möglichkeiten, das zu begründen...
Jaja das weite Feld der Mathematik Very Happy
Aber es hat mir schon mal geholfen, ich werde mir einfach mal das mit der Gamma-Funktion angucken und ich glaube, dann wird das eindeutiger.
Aber eine Frage hätte ich noch. Wofür braucht man eigentlich diese Gamma-Funktion?
Paddyot
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Anmeldungsdatum: 11.04.2007
Beiträge: 117

BeitragVerfasst am: 12 Jul 2008 - 15:57:07    Titel:

Aus der Gammafunktion leitet sich z.B. die Gammaverteilung ab, die für die Stochastik nicht ganz uninteressant ist. Beispiel dafür sind Modellierungen von Problemen, die auch in der Realität verwendet werden. Im Internet sollte ich etwas dazu finden lassen. Wink

Mit der Gammafunktion selbst lassen sich Werte wie 1.5! berechnen, die zwar für ein Lotto-Problem zum Beispiel uninteressant sind, aber mit dieser Funktion lässt sich zeigen, dass auch x! für x e R definiert sein kann, sodass x nicht nur eine natürliche Zahl sein muss...meiner Meinung nach eine sehr besondere und interessante Funktion!
Wieso gerade Gamma(x) = (x-1)! ist, lässt sich durch häufiges, partielles Integrieren zeigen. Es lässt sich damit die Beziehung zeigen:

Gamma(x+1) = Gamma(x)*x
Da Gamma(x) ja Gamma(x-1)*(x-1) ist, lässt sich dies analog fortführen, sodass man zum Ergebnis

Gamma(x+1) = x*(x-1)*(x-2)*....*2*1
kommt, also somit der vorhin genannte Bezug gezeigt worden ist. Smile

MfG Paddyot
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 12 Jul 2008 - 15:57:09    Titel:

Gegenfrage: Wofür brauchst du die Funktion f(x)=x^2?

Cyrix
Goethe_fam
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Anmeldungsdatum: 13.03.2008
Beiträge: 362

BeitragVerfasst am: 12 Jul 2008 - 16:10:07    Titel:

@Paddyot: Du kennst dich ja richtig gut in dem Gebiet aus... Smile
Also vielen Dank für diese ausführliche Erklärung, ich werd einfach mal im Internet ein bisschen stöbern, aber jetzt habe ich ja schon mal einen Anhaltspunkt, wonach ich suchen sollte... Smile

Und @cyrix42: Die Quadratische Funktion ordnet ja jedem x-Wert genau einen y-Wert aus dem Wertebereich zu, der zugleich auch das Quadrat von x ist. In der Wirtschaft wird die Funktion z.B. gebraucht, um den Erlös zu veranschaulichen...
Die Gewinnkurve oder die Grenzkosten können auch Funktionen 2.Grades sein.

MfG
Goethe_fam
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Anmeldungsdatum: 13.03.2008
Beiträge: 362

BeitragVerfasst am: 12 Jul 2008 - 16:12:41    Titel:

Goethe_fam hat folgendes geschrieben:
Die Gewinnkurve oder die Grenzkosten können auch Funktionen 2.Grades sein.


Allerdings ist die Gewinnkurve in der Form: G(x)=-x^2 beschrieben
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 12 Jul 2008 - 16:16:00    Titel:

Goethe_fam hat folgendes geschrieben:

Und @cyrix42: Die Quadratische Funktion ordnet ja jedem x-Wert genau einen y-Wert aus dem Wertebereich zu, der zugleich auch das Quadrat von x ist. In der Wirtschaft wird die Funktion z.B. gebraucht, um den Erlös zu veranschaulichen...
Die Gewinnkurve oder die Grenzkosten können auch Funktionen 2.Grades sein.


Deine Erklärung ist schon ziemlich bei den Haaren herbeigezogen. Findest du nicht? Wink

Jede Funktion ordnet nach Definition jedem Argument genau ein Bild zu. Wink Und Die wirtschaftliche Bedeutung der quadratischen Funktion ist aber schon stark übertrieben. Dass einige Wirtschaftler so faul sind, ihre Funktionen nur durch höchstens kubische Polynome zu modelieren (zumal dieses Modell grob falsch bzw. nur in kleinen Intervallen von halbwegs brauchbarer Näherung ist), folgt eben aus dem Zusammenhang Grenzkosten-Ableitung jener ZUsammenhang.

Damit ist aber obige Funktion nicht gerade bedeutend, sondern nur ein einziges Beispiel eines einfachen Modells. Nicht mehr, und nicht weniger.

Die Frage nach der Bedeutung einer Funktion ist insofern Quatsch, da es sich einfach um eine Abbildung handelt, die um ihretwillen studiert wird (bzw. weil sie in einen größeren Zusammenhang passt, dort ein Spezialfall darstellt). Aber nach einer Anwendung für eine bestimmte Funktion zu suchen, ist ungefähr genauso sinnvoll wie nach der Bedeutung eines bestimmten Wortes der deutschen Sprache zu suchen. Wozu brauche ich "der"? Um bestimmte Sachverhalte beschreiben zu können. Analog ist es in der Mathematik.


Cyrix
Armin Gibbs
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Anmeldungsdatum: 06.02.2008
Beiträge: 992

BeitragVerfasst am: 12 Jul 2008 - 19:33:44    Titel:

Zitat:
Es lässt sich mit Hilfe der Gamma-Funktion zeigen, dass:
Gamma(x) = (x-1)! ist.
Da Gamma(1) = 1 ist, ist (1-1)! = 0! = 1


Das ist für mich kein schlagendes Argument. Im Gegenteil, andersrum weid ein Schuh draus: Da 0!=1 definiert wurde, ist Gamma(x) = (x-1)! für alle positiven ganzen Zahlen.
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