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Störgliedansatz DGL2.Ordnung
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Störgliedansatz DGL2.Ordnung
 
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Ricarda
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Anmeldungsdatum: 08.01.2006
Beiträge: 101

BeitragVerfasst am: 15 Jul 2008 - 18:53:10    Titel: Störgliedansatz DGL2.Ordnung

brauch hilfe:

irgendwas stimmt mit meinem Störgliedansatz nicht

3y´´(x)-5y´(x)-2Y=1-2x^2

als homogene Lösung hab ich raus YH: Aexp(2x)+Bexp(-1/3x)

mein Störgliedansatz:
r(x)=1-2x^2

Yp(x)=A+Bx^2
Y´p(x)= 2Bx
Y´´p(x)= 2B

(in ausgangsgleichung einsetzen)
6B-10Bx-2A-2Bx^2=1-2x^2

da komm ich aber bei B auf -10B=0 und -2B=-2
???
kann mir da jemand helfen?
Marin_Bukov
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Anmeldungsdatum: 17.12.2007
Beiträge: 345
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BeitragVerfasst am: 15 Jul 2008 - 23:20:11    Titel:

HAllo!

versuche mal mit Ax^2+Bx+C als Ansatz Smile

Falls dies nicht auf die Spur geht, dann hilft die Laplace-tarnsformation eine Rolle Smile

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

Gruesse, Marin
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 12:23:28    Titel: Ja, Polynom 2. Grades

Marin_Bukov hat recht, wie z. B. die Lösung mittels L-Trafo zeigt:
3·y"(x) -5·y'(x) -2·y(x) = 1 -2·x²
°-• (Transformation in den Bildbereich)
3·[s²·Y(s)-s·y(0)-y'(0)] -5·[s·Y(s)-y(0)] -2·Y(s) = 1· 1÷s -2· 2÷s³
Auflösen nach der gesuchten Bildgrösse:
→Y(s) = [y(0)·s^4 +{y'(0)-5÷3·y(0)}·s³ +1÷3 ·s² -4÷3]÷[s³·(s-2)·(s+1÷3)]
Ansatz für PBZ:
Y(s) = a÷s³ +B÷s² +C÷s +D÷(s-2) +E÷(s+1÷3)
Multiplikation mit Hauptnenner:
→y(0)·s^4 +{y'(0)-5÷3·y(0)}·s³ +1÷3 ·s² -4÷3 = a·(s-2)·(s+1÷3) +B·s·(s-2)·(s+1÷3) +C·s²·(s-2)·(s+1÷3) +D·s³·(s+1÷3) +E·s³·(s-2)
Einsetzen: s = 0 →a = 2
s = 2 →D = {3·y'(0)+y(0)}÷7
s = -1÷3 →E = {6·y(0)-3·y'(0)-105}÷7
Differentiation nach s: (wegen dreifacher Nenner-Nullstelle)
→4·y(0)·s³ +3·{y'(0)-5÷3·y(0)}·s² +2÷3 ·s = a·(2·s-5÷3) +B·(3·s²-10÷3·s-2÷3) +C·s·(4·s²-5·s-4÷3) +D·s²·(4·s+1) +E·s²·(4·s-6)
Einsetzen: s = 0 →B = -5
Differentiation nach s: (nochmals wegen dreifacher Nullstelle)
→ … +2÷3 = 2·a +B·(…-10÷3) +C·(…-4÷3) +…
Einsetzen: s = 0 →C = 15
Einsetzen der fünf Koeffizienten in den Ansatz:
→Y(s) = 2÷s³ -5÷s² +15÷s +1÷7 ·{3·y'(0)+y(0)}÷(s-2) +1÷7 ·{6·y(0)-3·y'(0)-105}÷(s+1÷3)
°-• (Rücktransformation in den Originalbereich)
y(x) = 2·½·x² -5·x +15 +1÷7 ·{3·y'(0)+y(0)}·exp(2·x) +1÷7 ·{6·y(0)-3·y'(0)-105}·exp(-1÷3 ·x)


Zuletzt bearbeitet von xeraniad am 16 Jul 2008 - 13:07:36, insgesamt 2-mal bearbeitet
Marin_Bukov
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Anmeldungsdatum: 17.12.2007
Beiträge: 345
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BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 13:01:20    Titel:

so machtvoll ist die Laplace-transformation, man muss sich nur mit der PBZ auskennen Smile


uebrigens, gilt die auch bei DGLs, wo die Koefizienten vor den abhaengigen Variablen keine Konstanten sind?

z.B. bei: y''[x]+2x*y[x]-x^2*y[x]==e^x
Ricarda
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Anmeldungsdatum: 08.01.2006
Beiträge: 101

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 13:06:29    Titel:

Danke, Danke, Danke
Ich könnt dich Knutschen^^

Jetzt klappts, hab es mit dem Ansatz A+Bx+Cx^2 probiert, von Laplace hab ich lieber die finger gelassen;)
Ricarda
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Anmeldungsdatum: 08.01.2006
Beiträge: 101

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 13:26:41    Titel:

hab da noch ne andere Aufgabe:

y´´(x)-y´(x)-2y(x)=60sin(2x)

mein Störgliedansatz:

Yp(x)= Acos(2x) + Bsin(2x)


ist das der richtige Ansatz? muss ich in dem Fall auf Resonanz achten? Wenn ja müsste ich ja Yp(x)*x nehmen.
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
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BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 13:30:39    Titel: Funktionen als Koeffizienten? eher nicht...

@Marin_Bukov:
Zitat:
uebrigens, gilt die auch bei DGLs, wo die Koefizienten vor den abhaengigen Variablen keine Konstanten sind?

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform → "Frequency differentiation": x·y(x) °-• -Y'(s), x²·y(x) °-• Y"(s).

y"(x) +2·x·y(x) -x²·y(x) = exp(x)
°-•
s²·Y(s)-s·y(0)-y'(0) -2·Y'(s) -Y"(s) = 1÷(s-1)
→Y"(s) +2·Y'(s) -s²·Y(s) = -s·y(0)-y'(0) -1÷(s-1)
ist wie
f"(t) +2·f'(t) -t²·f(t) = a·t +b + -1÷(t-1) {mit a = -y(0), b = -y'(0)}
daher nochmals
°-•
s²·F(s)-s·f(0)-f'(0) +2·s·F(s)-2·f(0)
und jetzt haben wir schon wieder das Funktionsargument in den Koeffizienten... Shocked so gehts nicht...

http://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Transformation → "Wichtige Anwendungen" "…mit konstanten Koeffizienten…". Allerdings heisst es dort auch "…In Sonderfällen können auch lineare Differentialgleichungen mit Polynomkoeffizienten so gelöst werden.".
dürfte aber schwierig sein Very Happy
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
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BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 14:21:40    Titel: A·cos(2·x) +B·sin(2·x) richtig, Resonanz hier kein Thema.

Ricardas Ansatz ist korrekt, wie z. B. die folgende Lösung zeigt:
y"(x) -y'(x) -2·y(x) = 60 ·sin(2·x)
°-•
s²·Y(s)-s·y(0)-y'(0)-s·Y(s)+y(0) -2·Y(s) = 60 ·2÷(s²+2²)
→ Y(s) = [y(0)·s³ +{y'(0)-y(0)}·s² +4·y(0)·s -4·y(0) +4·y'(0)+120]÷[(s+1)·(s-2)·(s²+2²)]
→ Y(s) = [A·s+2·B]÷(s²+2²) +C÷(s+1) +D÷(s-2)
y(0)·s³ +{y'(0)-y(0)}·s² +4·y(0)·s -4·y(0) +4·y'(0)+120 = [A·s+2·B]·(s+1)·(s-2) +C·(s²+2²)·(s-2) +D·(s²+2²)·(s+1)
s := 2·i →4·A -12·B = 120, -12·A -4·B = 0 →A = 3, B = -9
s := -1 →C = {2·y(0)-y'(0)}÷3 -8
→ s := 2 →D = {y(0)+y'(0)}÷3 +5
•-°
y(x) = 3·cos(2·x) -9·sin(2·x) +[{2·y(0)-y'(0)}÷3 -8]·exp(-x) +[{y(0)+y'(0)}÷3 +5]·exp(2·x)
Marin_Bukov
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BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 14:47:37    Titel:

Danke xeraniad, leider sind diese Sonderfaelle nicht definiert Sad - aber lassen wir doch mal was fuer das Studium - da wird's vielleicht klarer Smile

ein anderer Loesungsweg fuer die DGL:

y"(x) -y'(x) -2·y(x) = 60 ·sin(2·x)

mit dy/dx = D - Differentialoperator (ist auch ein linearer Operator)

(D^2 - D - 2)y=60sin(2x) = Im{60e^(2ix)}

(D^2 - D - 2) = p(D) - ist das charakteristische Polynom

y_h = C_1*e^(2x) + C_2*e^-x

y_p = 60e^(2ix)/p(2i) = 60e^(2ix)/(-6-2i) = -30(cos(2x)+isin(2x))/(3+i) =

= -3(3-i)(cos(2x)+isin(2x))

Im{-3(3-i)(cos(2x)+isin(2x))} = -3(3sin(2x) - cos(2x))

y = y_p+y_h = C_1*e^(2x) + C_2*e^-x -3(3sin(2x) - cos(2x))

stimmt voellig mit dem anderem Ergebnis ueberein Smile

Gruesse, Marin
Marin_Bukov
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Anmeldungsdatum: 17.12.2007
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BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 14:57:24    Titel:

wie wuerdet ihr aber bei folgender DGL vorgehen?

y'[x]-3y'[x]+6y[x] = 4tan(3x)

tan(3x) laesst sich weder als komplexe e-Funktion aufschreiben, noch steht dafuer die Laplace-Transformation in der TAbelle Sad
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