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Lineare Gleichungen
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DarkAngel1984
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Apr 2005 - 16:44:11    Titel: Lineare Gleichungen

habe ein kleines problem... mein lehrer will, dass ich morgen an der tafel eine aufgabe löse... aber irgendwie bekomm ich es nicht raus. sitz schon drei stunden dran..

x+ y- z= 1
2x+3y+az=3
x+ay+3z=2


die aufgabe besteht darin... diese drei gleichungen so nach den gausschen eliminierungsverfahren zu umschreiben, dass man durch a bestimmen kann... wann gilt für a was, damit die gleichungen keine, eine und mehrere lösungen haben.. helft mir bittee..
Bamboocha
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Anmeldungsdatum: 04.04.2005
Beiträge: 23
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 07 Apr 2005 - 16:48:06    Titel:

musst du das gausche verfahren nehmen oder geht auch das additionsverfahren?
DarkAngel1984
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Apr 2005 - 16:52:55    Titel:

naja... ich solle es mit dem gausschen versuchen. ich kann aber auch ein anderes benutzen.. hauptsache ich bekomme am ende nun mal die passende formel heraus. um a bestimmen zu können
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 07 Apr 2005 - 17:07:39    Titel:

Schau mal da rein. Das einzige, was noch fehlt ist die Interpretation Smile

http://www.fmi.uni-passau.de/~lasaruk/out.pdf
DarkAngel1984
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Apr 2005 - 17:11:23    Titel:

das reicht völlig. lieben herzlichen dank
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 07 Apr 2005 - 17:12:33    Titel:

Hallo DarkAngel1984

folgende Rechnung
Code:

(1)  x +  y -  z= 1
(2) 2x + 3y + az= 3
(3)  x + ay + 3z= 2

(4) = (2) - 2*(1)

    (2): 2x + 3y + az= 3
- 2*(1): 2x + 2y - 2z= 2
------------------------
    (4):       y + (a+2)z = 1

(5) = (3) - (1)
 (3): x + ay   + 3z= 2
-(1): x +  y   -  z= 1
-----------------------     
 (5):   (a-1)y + 4z= 1


 (4)=      y + (a+2)z = 1
 (5)= (a-1)y +    4z= 1
 
(6) = (a-1)*(1) - (5)
 
 (a-1)*(4) : (a-1)y + (a-1)(a+2)z = (a-1)
-      (5) : (a-1)y +          4z = 1
-----------------------------------------
(6)        :      ((a-1)(a+2)-4)z = a-2
(6)        :      (a²+a-6) z = a-2


Wenn (a²+a-6) = 0 und a -2 = 0 dann gibt es beliebig viele Lösungen
Wenn (a²+a-6) = 0 und a -2 != 0 dann gibt es beliebig keine Lösungen
ansonsten gibt es eine Lösung

Nullstelle von a²+a-6 mit pq-Formel a1,2 = -1/2+-Wurzel( 1/4 + 6) = -1/2+-5/2 => a1 = -3 und a2 = 2

Bei a1 = -3 ist a-2 != 0 => keine Lösung
Bei a2 = 2 ist a-2 = 0 => beliebig viele Lösungen.

Dieser Beitrag ist editiert

Gruß
Dirk


Zuletzt bearbeitet von DMoshage am 07 Apr 2005 - 18:52:37, insgesamt einmal bearbeitet
DarkAngel1984
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Apr 2005 - 17:29:40    Titel:

das ist cool. na endlich.. habe den code auch voll überblickt... echt nett.. jetzt steht mir meinem vortrag morgen nichts mehr im wege
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 07 Apr 2005 - 17:36:05    Titel:

Ich sehe, da ist mir im Exportfilter für LaTex ein Fehler unterlaufen. Da, wo es steht -a^2-a6 heißt es natürlich -a^2-a+6. Ich schreibe sowieso an einer neuen Version, daher mache ich da nix.

Obige Lösung ist nicht korrekt. Für a = 1 ist

x = 1 y = 1/4 und z = 1/4

eine Lösung.
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 07 Apr 2005 - 18:53:35    Titel:

Sorry, da habe ich mich verrechnet. Den obigen Beitrag habe ich korrigiert. Jetzt sollte er stimmen.

Gruß
Dirk
algebrafreak
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 07 Apr 2005 - 19:45:24    Titel:

Jetzt passt's. Interessant ist, daß aus der strikten Zeilenstufenform oben in der pdf der Fall unendlicher Lösungen nicht rauszulesen ist. Da muß man auf die Zwischenschritte zurückgreifen bzw. auf die normale Zeilenstufenform.

Ich sehe schon seit 5 Jahren Gauss-Eliminationen in einer Fülle von Formen, sei es Matrizen oder Quantorenelimination. Und trotzdem gibt es immer wieder Kleinigkeiten, die mich überraschen Smile
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