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Bedeutung der Eulerschen Zahl (spez. im nat. Logarithmus)
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Bedeutung der Eulerschen Zahl (spez. im nat. Logarithmus)
 
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Herr Benedikt
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Anmeldungsdatum: 27.06.2008
Beiträge: 250

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 15:34:15    Titel: Bedeutung der Eulerschen Zahl (spez. im nat. Logarithmus)

Hallo zusammen,
ich wiederhole gerade ein wenig den Mathestoff der letzten Jahre, da im März nächsten Jahres das mündliche Abi in Mathematik für mich ansteht und ich nachher den verschiedenen Themen nicht "hinterherlaufen" will.

Dabei bin ich über den Begriff des natürlichen Logarithmus und der Euler'schen Zahl e gestolpert.
Nun ist mir grundsätzlich aus der Mittelstufe noch klar, was ein Logarithmus ist (von wegen a hoch wie viel ist b... ) Very Happy, allerdings ließ mich der Begriff des natürlichen Logarithmus doch ein wenig stocken.
Ich bilde also den Logarithmus einer Zahl mit der Basis e=2,718...
Die Frage nun ist: was habe ich davon? In wie fern wird der natürliche Logarithmus und die Eulersche Zahl angewendet? Mein Mathebuch spricht schließlich vom "am meisten verwendeten unter allen Logarithmen".
Ich verstehe das aber schon richtig, dass der Natürliche Logarithmus ein Spezialfall ist und nicht der Normalfall, oder?
Würde mich sehr über Hilfe freuen Wink

Liebe Grüße
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 15:50:09    Titel:

http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Als_Stammfunktion_von_1.2Ft
http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Berechnung_des_Logarithmus



Zudem findet der natuerliche Logarithmus vielfach Verwendung in der Mathematik:
http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Konstante
http://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion#Geschichtliches
http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahlsatz#Der_Primzahlsatz
http://de.wikipedia.org/wiki/Areasinus_Hyperbolicus_und_Areakosinus_Hyperbolicus
http://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution#Logarithmische_Integration
Marin_Bukov
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Anmeldungsdatum: 17.12.2007
Beiträge: 345
Wohnort: Sofia

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 15:52:27    Titel:

Hallo!

Dein Mathebuch sagt dir die Wahrheit, zumindest nach meiner Erfahrung bisher Smile

lnx ist eien spezielel Funktion.

in der Differential- und Integralrechnung werden damit folgende 2 sehr erstaunliche, aber sehr wichtige Beziehungen angegeben:

1. (lnx)' = 1/x , x>0

2. Int [1/x]dx = ln lxl

beide stellen den Zusammenhang zw. den Potenzfunktionen und den Lofarithmusfunktionen.


Da Integrale ueberall verwendet werden ist der naturliche Log. eien sehr wichtige Funktion Smile


Gruesse, Marin
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 15:56:38    Titel:

Marin_Bukov hat folgendes geschrieben:
2. Int [1/x]dx = ln lx|


Da wird dir Mathefan auf die Finger hauen Wink

Int [1/x]dx = ln |x| + C
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 16:01:00    Titel:

Das hängt damit zusammen, dass sich die natürliche Exponential-Funktion für jedes reelle Argument berechnen (naja, genauer gesagt approximieren) lässt, indem du ausschließlich Grundrechen-Operation (Addition, Multiplikation, Division) verwendest. Das wiederum lässt sich darauf zurückführen, dass e^x die einzige Exponential-Funktion ist, welche die Gerade y = x+1 nie schneidet, sondern nur im Punkt (0, 1) berührt. Alle anderen Exponential-Funktionen haben zwei Schnittpunkte mit der Geraden. Das ist ein weitverzweigtes Thema, was von fundamentaler Bedeutung für die Mathematik ist, daher kann man das schlecht in wenige Sätze fassen...

Zusammen mit dem natürlichen Logarithmus (der sich ebenfalls durch die Grundrechen-Arten berechnen lässt), erschließt sich überhaupt erst die Möglichkeit Ausdrücke wie pi^wurzel(2) berechnen zu können; das bezieht sich aber jetzt mehr auf den technischen Aspekt - auf dem Zettel wirst du einen solchen Ausdruck sicher nicht auswerten.

Hier noch die zwei Berechnungen:

e^x
= exp(x)
= [Summe über (x^n / n!) für n von 0 bis (+unendlich)]
= 1 + x + x² / 2 + x³ / 6 + x^4 / 24 + ...
= 1 + x/1 * (1 + x/2 * (1 + x/3 * (1 + x/4 * ( ... ))))

ln(x)
= 2 * [Summe über ( ((x-1)/(x+1))^(2n+1) / (2n+1) ) für n von 0 bis (+unendlich)]
= 2 * (x-1)/(x+1) * (1/1 + ((x-1)/(x+1))² * (1/2 + ((x-1)/(x+1))² * (1/3 + ((x-1)/(x+1))² * (1/4 + ((x-1)/(x+1))² * ( ... ))))

Wie gesagt: Damit ist lediglich an der Oberfläche der tiefgreifenden Bedeutung gekratzt...
Goethe_fam
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Anmeldungsdatum: 13.03.2008
Beiträge: 362

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 22:06:25    Titel:

Calculus hat folgendes geschrieben:
Marin_Bukov hat folgendes geschrieben:
2. Int [1/x]dx = ln lx|


Da wird dir Mathefan auf die Finger hauen Wink

Int [1/x]dx = ln |x| + C


Wo kommt jetzt dieses "C" her?
Progressive
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Anmeldungsdatum: 30.09.2006
Beiträge: 3988

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 22:11:35    Titel:

weil beim Ableiten das Absolutglied (c) wegfällt ?
Goethe_fam
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Anmeldungsdatum: 13.03.2008
Beiträge: 362

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 22:13:22    Titel:

Achso okay danke Smile
Progressive
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Anmeldungsdatum: 30.09.2006
Beiträge: 3988

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 22:15:11    Titel:

das Fragezeichen von mir wahr nicht ironisch Smile

aber Int [1/x]dx dieses dx überall stört langsam.. sollte ich mir wohl mal angucken Laughing
Bei den Plottern im Internet ist das so klasse.. da freut man sich, yuhu, da leitet einer einem Schritt für Schritt alles ab und dann auf so ne dx/x-Weise mit total viel ineinander-schachteln... Wink
Goethe_fam
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Anmeldungsdatum: 13.03.2008
Beiträge: 362

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2008 - 22:20:04    Titel:

Was meinst du denn jetzt damit?

Zitat:
das Fragezeichen von mir wahr nicht ironisch
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