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Funktionsgleichung
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Annett710
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Anmeldungsdatum: 03.04.2005
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 07 Apr 2005 - 18:58:29    Titel: Funktionsgleichung

Die bei der Produktion eines Gutes anfallenden Stückkosten werden durch die folgenden Funktion erfasst:

k(x) x²-7x+20+15/x

(Kosten in Euro, Menge in 1000 Stück)

a) Berechnen Sie den Wert, auf den der Marktpreis im äußersten Fall sinken darf, wenn die Kosten noch durch den Erlös gedeckt werden sollen. Welche Menge muss dann produziert werden?
b) Untersuchen Sie das Verhalten der Stückkostenkurve, wenn man die Menge gegen Null anstreben lässt. Ein mathematisch einwandfreier Ansatz ist erforderlich.
c) Für den angenommenen Fall, das Unternehmen habe für das gut eine Monopolstellung am MArkt, wird die folgende Preis- Absatz- Funktion zu Grunde gelegt: p(x) = -5x+40
Zeichnen Sie den Graphen ein! Berechnen Sie die Absatztelastizität an der Stelle x=2
d) Bestimmen Sie die Gesamtfunktionen und berechnen Sie die Menge, bei der der Monopolist den maximalen Gewinn erzielt.
Gast







BeitragVerfasst am: 08 Apr 2005 - 00:47:30    Titel:

Ich habe zwar keine Wirtschaftswissenschaften studiert, aber interessiere mich schon für Anwendungen der Mathematik in dieser Disziplin. Da Du aber noch keine Antwort erhalten hast, schreib ich Dir mal auf, was ich mir so darunter vorstelle. Hoffe, Du kannst damit was anfangen...

a) Der Preis p soll die Stückkosten k abdecken, d.h. es soll p(x) = k(x) gelten.
Gefragt ist nun nach dem Minimum von p, also nach gerade nach dem Minimum von k:

k'(x) = 2x - 7 - 15/(x^2) = (2x^3 - 7x^2 - 15)/(x^2)

Nullstelle von k' liegt bei x = 3,9747... (Cardanische Formel);

Überprüfen der notwendigen Bedingung für lokale Extrema liefert tatsächlich ein lokales Minimum von k in P(3,9747... / 11,749...).
Sinkt der Preis also auf ca. 11,75€ pro Stück werden die Kosten bei einer Menge von 3975 Stück gerade noch gedeckt.

b) Zähler konvergiert gegen eine Konstante (Fixkosten: 15); Nenner konvergiert gegen 0. Damit konvergiert k(x) gegen Unendlich, wenn x gegen 0 läuft.
Für x -> 0 mit x > 0 ist lim(k(x)) also Unendlich, für x-> 0 mit x < 0 ist lim(k(x)) = - Unendlich.

c) Es ist p(2) = 30, p'(x) = -5 für alle x, also auch p'(2) = -5.
Die Absatzelastizität ist also:

- p(x) / [p'(x)*x] = - p(2) / [p'(2)*2] = -30/(-5*2) = 3.

Andere Möglichkeit (etwas anschaulicher):

Erhöht man den Preis p(2) = -10 + 40 = 30 um z.B. 10%, so sinkt die Nachfrage von 2 auf 1,4 ( 33 = -5x + 40 => 5x = 7 => x = 1,4),
also um 0,6. In Prozent bedeutet das einen Nachfragerückgang von 30%.
Also ist der Elastizitätskoeffizient = (30%)/(10%) = 3 (elastische Nachfrage).

d) K(x) = x^3 - 7x^2 + 20x + 15;
E(x) = p(x) *x = - 5x^2 + 40x;
G(x) = E(x) - K(x) = - x^3 + 2x^2 + 20x - 15.

G'(x) = - 3x^2 + 4x + 20

Nullstellen von G':

x^2 - 4/3 * x - 20/3 = 0

hat die Lösungen: x_1 = 2/3 + 8/3 = 10/3 = 3,333....
und x_2 = 2/3 - 8/3 < 0, daher uninteressant!

G''(x) = - 6x + 4 => G''(10/3) = -16 < 0, also lokales Maximum.

(Ebenfalls globales Maximum für x > 0).

Hoffe, das stimmt so...!
mkk Wink
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