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Wahrscheinlichkeiten von Würfeln bei einem Chatspiel
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shakespeare
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Anmeldungsdatum: 23.07.2008
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 23 Jul 2008 - 22:43:39    Titel: Wahrscheinlichkeiten von Würfeln bei einem Chatspiel

Hallo erstmal! Wink
Ich hoffe, diese Frage geht in Ordnung. Schließlich steht ja die Wahrscheinlichkeit im Vordergrund.

Ich selbst interessiere mich für Mathematik und komm' jetzt in die 13. Stochastik hatte ich allerdings noch nicht. Ich bin in einem Chat (knuddels) registriert und dort gibt es ein neues Chatspiel, dass ich mathematisch interessant finde. Ich erklär' es erstmal - mein Ziel ist es, die perfekte Spielweise mithilfe der Mathematik herauszufinden.

Man gibt einen Einsatz von 1 Knuddel (eine Art "Währung" in dem Chat). Es können 5-20 Spieler mitspielen. Der 1. erhält 50%, der 2. 30%, der 3. 20%.

Das Spiel heißt "Fifty" und funktioniert mit Würfeln. Man hat
3x 4-seitige Würfel
2x 6-seitige Würfel
2x 8-seitige Würfel
1x 10-seitigen Würfel
1x 12-seitigen Würfel
1x 20-seitigen Würfel

Es gibt insgesamt drei Runden und man kann in der 2. und 3. nur noch die Würfel verwenden, die man noch nicht verwendet hat. Es muss in jeder Runde eine Zahl zwischen 5 und 40 "angewürfelt" werden. Insgesamt ergeben die Zahlen aller 3 Runden die Zahl 50 (z.B. 10-10-30 oder 15-16-19, minimum ist 5, maximum ist 40)
Man kann in jeder Runde soviele Würfel verwenden, wie man will. Wird die Zahl überschritten, fliegt man raus.
Von denen, die alle 3 Runden überstehen, erhalten die ersten 3 (die 3 Zahlen, die sie gewürfelt haben zusammengerechnet -> siehe Screens unten) die Gewinne (bei 20 Leuten wären es für den ersten 10 Knuddels, für den zweiten 6, für den dritten 4).

Allerdings kommt ein entscheidender Punkt noch dazu, der das Ganze um einiges komplizierter macht:
Wenn man die höchste Zahl eines Würfels würfelt, wird er automatisch noch einmal gewürfelt!
Theoretisch kann man mit einem 4-seitigen Würfel eine 50 werfen. Das macht das Ganze unberechenbarer, da es kein Maximum gibt. Bei zwei 8-seitigen Würfel ist das maximum nicht 16, sondern eigtl. unendlich, da man ja immer wieder bei jedem neuen Wurf eine 8 würfeln könnte.

Sollten am Ende welche die exakt gleiche Punktzahl haben, gibt es ein Stechen. Man muss eine Zahl zwischen 1 und x (max. 50) würfeln. Der, der ihr am nächsten kommt, gewinnt das Stechen.
z.B.
Du musst zwischen 1 und 23 würfeln.
1. Spieler würfelt eine 10
Der 2. Spieler muss nun zwischen 11 und 23 werfen. Sollte man über 23 würfeln, fliegt man raus. Sollte Spieler 1 genau die 23 treffen, gewinnt er sofort.

Wenn jemand 50 Punkte erreicht, gewinnt er den Jackpot. Im Jackpot landen die Knuddels, die keiner erhalten hat, z.B. wenn nur 1 Spieler übrig bleibt. Die Gewinne für Platz 2 & 3 gehen in den Jackpot. Wenn der Jackpot geknackt wurde, endet das Spiel sofort und der Gewinner erhält nicht nur den Jackpot, sondern auch alle Gewinne des Spiels.

Das war das Spiel in Kürze erklärt. Ich habe schon die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Würfel ausgerechnet, also was man in etwa durchschnittlich pro Wurf wirft.

z.B. für W4 (der 4-seitige Würfel)

(1+2+3+4)/4 + (1+2+3+4)/4² + (1+2+3+4)/4³ +...+ (1+2+3+4)/4^n
= 3,33

Die Werte, die ich für die einzelnen Würfel errechnet habe sind:

W4 3,33
W6 4,2
W8 5,14
W10 6,11
W12 7,09
W20 11,05

Momentan spiele ich so, dass ich diese Werte nehme (natürlich gerundete) und zusammenrechne. Ich versuche, dass diese Zahl einen Abstand von 3-4 zur Gesuchten hat. Ich weiß aber nicht, ob das nun irgendwie "gut" ist oder nicht.
z.B.
18
nehme ich 3W4+W8 (3x den 4-seitigen Würfel und 1x den 8-seitigen Würfel = 15)
Ist die Wahrscheinlichkeit am höchsten, die 15 zu treffen? Nein, oder doch? Das weiß ich nämlich absolut nicht. Bringt das Ganze was?
Am besten ist es zwar, die Zahl genau zu treffen, aber man sollte eine Würfelkombination finden, mit der man eine hohe Zahl erreicht und nicht zu häufig ausscheidet.

Wie kann ich die perfekte Technik finden oder ist das gar nicht möglich? Je besser man spielt, desto mehr Gewinn macht man - das weiß ich. Schließlich spielen ja alle nicht gleich gut. Je schlechter die Mitspieler (je weiter entfernt von der optimalen Spielweise), desto besser für mich. Je besser die Mitspieler, desto schlechter ist es für mich.
Bei kleinen Zahlen ist das Ganze recht einfach:
Bei der 5 ist W6 (der 6er Würfel) am besten, da man einen Volltreffer landen kann (die 5) und man nur zu 16,33% rausfliegt. Bei W4 hingegen fliegt man zu 18,75% raus und es ist unwahrscheinlicher die 5 zu treffen.
Bei 7 ist W8 sicherer als W6, ähnlich also wie bei der 5.
Aber bei großeren Zahlen wird das Ganze komplizierter: Bei der 9 lieber W10 oder 2W4 usw...
Kann man das vllt. mit einem Programm berechnen?


Ich werde hier zum Verständnis des Spiels einige Screens hinzufügen - alle Nicknamen habe ich rausgeschnitten. Wenn man das sieht, versteht man's vllt. besser:

http://img390.imageshack.us/img390/5913/clipboard0101dk0.png
http://img517.imageshack.us/img517/3359/clipboard0102gt4.png
http://img184.imageshack.us/img184/1764/clipboard0103em3.png
(Die Fifty-Punkte gibt es zusätzlich noch, wenn man gewinnt. Allerdings setzt man diese nicht ein, sondern nur den "Knuddel")
smoother
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Anmeldungsdatum: 05.09.2006
Beiträge: 506
Wohnort: Hannover

BeitragVerfasst am: 25 Jul 2008 - 16:47:22    Titel: Re: Wahrscheinlichkeiten von Würfeln bei einem Chatspiel

shakespeare hat folgendes geschrieben:
Hallo erstmal! Wink
Ich hoffe, diese Frage geht in Ordnung. Schließlich steht ja die Wahrscheinlichkeit im Vordergrund.

Ich selbst interessiere mich für Mathematik und komm' jetzt in die 13. Stochastik hatte ich allerdings noch nicht. Ich bin in einem Chat (knuddels) registriert und dort gibt es ein neues Chatspiel, dass ich mathematisch interessant finde. Ich erklär' es erstmal - mein Ziel ist es, die perfekte Spielweise mithilfe der Mathematik herauszufinden.


Klar ist das in Ordnung. Mathematisches Interesse bei Nicht-Hausuafgaben wird hier immer unterstützt Laughing

shakespeare hat folgendes geschrieben:
Man gibt einen Einsatz von 1 Knuddel (eine Art "Währung" in dem Chat). Es können 5-20 Spieler mitspielen. Der 1. erhält 50%, der 2. 30%, der 3. 20%.

Das Spiel heißt "Fifty" und funktioniert mit Würfeln. Man hat
3x 4-seitige Würfel
2x 6-seitige Würfel
2x 8-seitige Würfel
1x 10-seitigen Würfel
1x 12-seitigen Würfel
1x 20-seitigen Würfel

Es gibt insgesamt drei Runden und man kann in der 2. und 3. nur noch die Würfel verwenden, die man noch nicht verwendet hat. Es muss in jeder Runde eine Zahl zwischen 5 und 40 "angewürfelt" werden. Insgesamt ergeben die Zahlen aller 3 Runden die Zahl 50 (z.B. 10-10-30 oder 15-16-19, minimum ist 5, maximum ist 40)
Man kann in jeder Runde soviele Würfel verwenden, wie man will. Wird die Zahl überschritten, fliegt man raus.
Von denen, die alle 3 Runden überstehen, erhalten die ersten 3 (die 3 Zahlen, die sie gewürfelt haben zusammengerechnet -> siehe Screens unten) die Gewinne (bei 20 Leuten wären es für den ersten 10 Knuddels, für den zweiten 6, für den dritten 4).

Allerdings kommt ein entscheidender Punkt noch dazu, der das Ganze um einiges komplizierter macht:
Wenn man die höchste Zahl eines Würfels würfelt, wird er automatisch noch einmal gewürfelt!
Theoretisch kann man mit einem 4-seitigen Würfel eine 50 werfen. Das macht das Ganze unberechenbarer, da es kein Maximum gibt. Bei zwei 8-seitigen Würfel ist das maximum nicht 16, sondern eigtl. unendlich, da man ja immer wieder bei jedem neuen Wurf eine 8 würfeln könnte.

Sollten am Ende welche die exakt gleiche Punktzahl haben, gibt es ein Stechen. Man muss eine Zahl zwischen 1 und x (max. 50) würfeln. Der, der ihr am nächsten kommt, gewinnt das Stechen.
z.B.
Du musst zwischen 1 und 23 würfeln.
1. Spieler würfelt eine 10
Der 2. Spieler muss nun zwischen 11 und 23 werfen. Sollte man über 23 würfeln, fliegt man raus. Sollte Spieler 1 genau die 23 treffen, gewinnt er sofort.

Wenn jemand 50 Punkte erreicht, gewinnt er den Jackpot. Im Jackpot landen die Knuddels, die keiner erhalten hat, z.B. wenn nur 1 Spieler übrig bleibt. Die Gewinne für Platz 2 & 3 gehen in den Jackpot. Wenn der Jackpot geknackt wurde, endet das Spiel sofort und der Gewinner erhält nicht nur den Jackpot, sondern auch alle Gewinne des Spiels.

Das war das Spiel in Kürze erklärt. Ich habe schon die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Würfel ausgerechnet, also was man in etwa durchschnittlich pro Wurf wirft.

z.B. für W4 (der 4-seitige Würfel)

(1+2+3+4)/4 + (1+2+3+4)/4² + (1+2+3+4)/4³ +...+ (1+2+3+4)/4^n
= 3,33

Die Werte, die ich für die einzelnen Würfel errechnet habe sind:

W4 3,33
W6 4,2
W8 5,14
W10 6,11
W12 7,09
W20 11,05


Okay, das Spiel habe ich verstanden. Aber was machst du denn hier? Erstens berechnest du nicht die Wahrscheinlichkeit p (0<=p<=1) sondern den Erwartungswert E_n(m) mit m:= Anzahl der Seiten; n:= Anzahl der möglichen Würfe?!?!

Ich würde ja nicht den Erwartungswert im "worst-case" (immer die höchste Augenzahl eines Würfels) berechnen , sondern die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass ich mit einem Würfel der Seitenzahl m eine Zahl z würfle. Beim W:m=4 gilt zum Beispiel:

X := gewürfelte Zahl (aufsummiert bei evtl. mehreren Würfen)
P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=1/4
P(X<4)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = 3/4
P(X=4)=1/4 aber nicht zulässig, da bei X=4 (oder Vielfachen von 4) nochmals gewürfelt wird
P(X=5)=P(X=4) * P(X=1) = 1/4 * 1/4 = 1/16
P(X=6)=P(X=4) * P(X=2) = .. = 1/16
....

Damit erhältst du für jeden Würfel (oder mit variierenden Wahrscheinlichkeiten für mehrere Würfel) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass du mit einer Menge von Würfeln eine bestimmte Zahl z "erwürfelst". Summierst du die Wahrscheinlichkeiten auf, also wie im fettgedruckten Beispiel zum Beispiel für P(X<4), dann hast du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die "erwürfelte" Zahl kleiner als 4 ist (z.B. 1, 2 oder 3).

Gegenüber deiner bisherigen Methode wird hier sehr gut bercüksichtigt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, die höchst Augenzahl zu würfeln und nochmal zu würfeln, viel kleiner ist, als vorher eine andere Zahl zu bekommen.

Klingt erstmal kompliziert, ist aber sehr einfach. Die Grundlagen findest du unter "Wahrscheinlichkeitsverteilung/Binomialverteilung".

Wenn du im Programmieren fit bist, kannst du dir schnell ein Script schreiben, dass dir eine empfehlenswerte Würfelkombination für eine Zahl z in der 1., 2. oder 3. Runde ausgibt. ABER ich muss dich warnen: Das nennt sich das Cheaten und angenommen jeder würde seine Spileweise auf diese Weise "optimieren" wäre das Spiel echt Zufall Wink
shakespeare
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Anmeldungsdatum: 23.07.2008
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 27 Jul 2008 - 18:45:37    Titel:

Vielen Dank für deine Antwort Very Happy

Zitat:

X := gewürfelte Zahl (aufsummiert bei evtl. mehreren Würfen)
P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=1/4
P(X<4)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = 3/4
P(X=4)=1/4 aber nicht zulässig, da bei X=4 (oder Vielfachen von 4) nochmals gewürfelt wird
P(X=5)=P(X=4) * P(X=1) = 1/4 * 1/4 = 1/16
P(X=6)=P(X=4) * P(X=2) = .. = 1/16

Das macht Sinn und versteh' ich soweit auch^^
Allerdings ist das ja nur für einen Würfel - wie sieht's mit 2 oder 3 gleichen Würfeln z.B. aus? Da wird das ganze doch viel komplizierter oder nicht? Auch weil bei 4 neu gewürfelt wird:

2x den vierseitigen Würfel
2: 1+1 -> 1/16 (6,25%)
3: 1+2/2+1 -> 1/8 (12,5%)
4: 1+3/3+1/2+2 -> 3/16 (18,75%)
5: 2+3/3+2 -> 1/8 (12,5%)
6: 3+3/5+1/1+5 -> 1/4*1/4+1/16*1/4*2 -> 3/32? (9,38%)
7: 5+2/2+5/6+1/1+6 -> 1/4*1/16*4 -> 1/16 (6,25%)
8: 5+3/3+5/6+2/2+6/7+1/1+7 -> 1/4*1/16*6 -> 3/32 (9,38%)
9: 3+6/6+3/2+7/7+2 -> 2/32 (5,25 %)
10: 5+5/3+7/7+3/9+1/1+9 -> 1/256+2/64+2/256 (4,3%)
...
(Ich weiß, ich hab's nicht sehr "mathematisch" hingeschrieben, aber ich hab' ja auch noch kein Stochastik gehabt Very Happy)

Wird es bei 2 Würfeln dieser Art (mit neu würfeln) immer so sein, dass die Wahrscheinlichkeit wie hier bei 4 am höchsten ist, also bei 2x den 8-seitigen 8? Oder ist das purer Zufall?
Und auch wenn ich das weiß, weiß ich nicht, ob ich so optimal würfel. Schließlich gilt es nur die höchste Zahöl zu kriegen und nicht genau die 50 zu treffen - wär natürlich besser, aber wenn ich nun die Zahl errechne, die beim Würfeln am wahrscheinlichsten ist und diese mit der gesuchten übereinstimmt, wäre das Risiko, dass ich rausfliege nicht zu hoch? [/quote]
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