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orthogonalisierung
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chillahaze
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Anmeldungsdatum: 23.02.2008
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 24 Jul 2008 - 21:20:40    Titel: orthogonalisierung

hallo forum,

ich habe hier eine aufgabe wo ich nicht weiss ich wie ich rangehen soll:

erzeugen sie mit hilge des schmidt´schen orthogonalisierungsverfahrens aus den folgenden funktionen eine orthonormalbasis im intervall [0,1]:

f1(x)=1;f2(x)=x;f3(x)=x2

verwenden sie hirzu das skalarprodukt <g|h>=Integral 0bis1 von g⋅(x)h(x)dx zwischen den funkitionen g(x) und h(x).


wüsste vielleicht jemand einen ansatz?

gruß chillahaze
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 24 Jul 2008 - 21:38:32    Titel:

Ja: Wende das Gram-Schmit'sche Orthogonalisierungs-Verfahren an! Laughing Nee, aber im Prinzip sollte ja wirklich alles klar sein.

v[1] = 1
v[2] = x
v[3] = x²

b[n] := v[n] - [Summe über (<v[n], b[k]> / <b[k], b[k]> * b[k]) für k von 1 bis n-1]

Damit erhältst du zunächst die Orthogonal-Basis; diese musst du dann nur noch normieren indem du jeden Vektor b[n] mit <b[n], b[n]> dividierst. Wo konkret liegt nun das Problem?
chillahaze
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Anmeldungsdatum: 23.02.2008
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 24 Jul 2008 - 22:02:02    Titel:

hallo, danke für deine antwort..
das problem liegt darin das ich sowas bisher nur mit vektoren gemacht habe und nicht mit funktionen..

ist dann b[n]dann der vektor stimmts? d.h ich erhalte jeweils 3 vektoren b1 b2 und b3 indem ich jeweils die funktion v[n] minus der Summe über<v[n], b[k]> / <b[k], b[k]> nehme.

dieses <v[n], b[k]> / <b[k], b[k]> hab ich nicht richtig verstanden, sind das jeweils 2 punkte oder...sorry aber ich hab da massive probleme damit imer so was rauszulesen
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 24 Jul 2008 - 22:46:40    Titel:

Also erstmal: Die Menge der stetigen Funktionen über R im Intervall [0, 1] bilden zusammen mit der Addition und der skalaren Multiplikation einen Vektorraum. Daher sind die Funktionen hier Vektoren; das solltest du dir erstmal klar machen. In der Schule betrachtet man nur den Vektorraum der reellen 2- und 3-Tupel, daher ist man dadurch etwas 'geschädigt'.

Man definiert nun einfach ein Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren des Vektorraums, wie folgt:

<f(x), g(x)> = [Integral über (f(x) * g(x)) von 0 bis 1]

Es handelt sich hier um eine symmetrische (<f(x), g(x)> = <g(x), f(x)>), positiv definite (<f(x), f(x)> >= 0) Bilinearform (Linearität ist erfüllt und Ergebnis ist ein Skalar).

Damit kann man nun ein wenig rumspielen und eine Orthogonalität zwischen Funktionen definieren, indem man einfach sagt, dass das definierte Skalarprodukt Null sein muss.

Nun bestimme für den Anfang mal die folgenden Ausdrücke indem du die Definition des Sklarproduktes anwendest:

<1, 1> = ?
<x, x> = ?
<x², x²> = ?
mathemanu
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Anmeldungsdatum: 19.07.2008
Beiträge: 47
Wohnort: Göttingen

BeitragVerfasst am: 24 Jul 2008 - 22:50:40    Titel:

Hi chillahaze,

Um herauszufinden ob deine jetzigen Basisvektoren schon orthogonal zueinander sind benutzt du das Skalarprodukt, also das definierte Integral.

Deine Basis ist erstmal also {1,x,x²}

Du wirst feststellen, dass diese Basis keine Orthogonal und erst recht keine Orthonormalbasis bildet.

So wie bestimmt du jetzt also deine Orthonormalbasis?

Du schaust am besten mal unter dem Stichpunkt Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren bei google oder so nach. Das ist auch die Formel die Annihilator die gegeben hat.

Und dann musst du deine Basisvektoren deiner gefundenen Orthogonalbasis noch auf eins normieren, so dass du eine Orthonormalbasis bekommst.

Gruß Manu
chillahaze
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Anmeldungsdatum: 23.02.2008
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 24 Jul 2008 - 23:12:21    Titel:

ich weiss nicht ob ichs richtig, aber so wie ichs versatnden haben soll ich jetzt bei <1,1> --> integral von 1.1dx = integral dx im intervall 0bis1 berechen..dann kommt hier bei mir 1 raus.. dann mach ich des bei den anderen auch mal

Zuletzt bearbeitet von chillahaze am 24 Jul 2008 - 23:16:00, insgesamt 2-mal bearbeitet
mathemanu
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Anmeldungsdatum: 19.07.2008
Beiträge: 47
Wohnort: Göttingen

BeitragVerfasst am: 24 Jul 2008 - 23:14:36    Titel:

Genau der richtige Weg...
chillahaze
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Anmeldungsdatum: 23.02.2008
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 24 Jul 2008 - 23:16:40    Titel:

also ich hab das jetzt gemacht und hab ich 1 1/3 und 1/5 raus..
mathemanu
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Anmeldungsdatum: 19.07.2008
Beiträge: 47
Wohnort: Göttingen

BeitragVerfasst am: 24 Jul 2008 - 23:22:48    Titel:

So und an dieser Stelle kommt jetzt das Gram-Schmidt-Verfahren ins Spiel.
Das liefert dir nämlich eine schöne Formel um deine Orthogonalbasis zu bestimmen.

Also mal anschauen und dann fagen, wenn es Unklarheiten gibt Wink

Manu
Chiral
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Anmeldungsdatum: 12.06.2009
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2009 - 14:14:27    Titel:

Hallo zusammen!

Ich steh vor der gleichen Aufgabe und bekomm irgendwie ziemlich unschöne Ergebnisse und zwar:
b1 = 1
b2 = (x-1/2)*^Wurzel(12)
b3 = (x^2 - (x-1/2)*12^(-1/2) -1/3) (wobei b3 noch nicht normiert ist)

kann das so stimmen??

Wäre super wenn mir jemand helfen kann.

lg chiral
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