Extremwertaufgabe

bluesky86 · Gast

hi
könntet ihr mir mal bei der aufgabe helfen? wäre super nett Smile

In einem Kreis mit dem radius 8cm soll ein Rechteck eingezeichnet werden, dass einen möglichst großen Flächeninhalt hat.
Berechen Sie die längen der Knaten des Rechteckes so, dass der Inhalt des Rechteckes maximal wird. Geben Sie den Flächen inhalt an.

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Bitte helft mir

Gast · Verfasst am: 10 Apr 2005 - 16:43:49 Titel:

Hi, es muss ein Quadrat sein.

Ich habe etwas ähnliches gefunden:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?t=17853
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?t=17517

STP · Newbie Anmeldungsdatum: 09.04.2005 Beiträge: 6

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Vorab: Wegen der vielen Wurzeln habe ich das pdf-Dokument auf meine HP hochgeladen: http://home.tiscali.de/sergejstoppel/Loesung_Extremwertaufgabe.pdf
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Hi bluesky86.

Also bei Extremwertaufgaben muss man sicher immer überlegen, welche Größe extremal werden soll. Das ist hier der Flächeninhalt. Als nächstes überlegst du dir, wie der Flächeninhalt berechnet werden kann (A = a • b, wobei a und b die Seiten des Rechtecks sind). Als nächstes hilft eine kleine Überlegung: Durch welche Funktion kann man einen Kreis (oder zumindest einen Halbkreis) darstellen? Wenn man den Halbkreis in ein Koordinatensystem skizziert sieht das so aus:

Als nächstes legst du einen beliebigen Punkt auf die Kurve, z.B. hier:

Dieser Punkt hat die Koordinaten P(u|f(u)).
Wenn du nun ein Dreieck folgendermaßen in dieses Koordinatensystem reinlegst erhälst du folgendes:

Nun kann man für dieses Dreieck den Pythagoras ansetzen und nach f(u) auflösen:
f(u) = WURZEL(r^2 - u^2)
Für r setzt du deine 8 cm ein und bekommst dann: f(u) = WURZEL(64 - u^2) . Wie schon oben erwähnt musst du nun die Zielfunktion aufstellen.
Diese lautet: A = a • b = u • f(u) <=> A(u) = u • WURZEL(64 - u^2). Diese Funktion ist nur noch von u abhängig. Da dies aber nur ein Viertel der Fläche ist, musst du noch mit 4 multiplizieren:
A(u) = 4 • u • WURZEL(64 - u^2). Nun musst du diese Funktion ableiten, um den maximalen Flächeninhalt analytisch zu bestimmen oder du setzt die Funktion A(u) in den Taschenrechner ein und bestimmst dort numerisch den Hochpunkt. Die Ableitung sieht folgendermaßen aus:

A`(u) = 4 • 1 • WURZEL(64 - u^2) + 4 • u • 1/(2 • WURZEL(64 - u^2)) • 2u (Produkt und Kettenregel beachten)

Nach dem umformen und zusammenfassen erhälst du:

A`(u) = (256 - 8u^2)/(WURZEL(64 - u^2)).

Nun A´(u) = 0 setzen und du bekommst für u = +4 • WURZEL(2) und u = -4 • WURZEL(2) .
Da du den ganzen Ansatz für den ersten Quadrant gemacht hast ist u = +4 • WURZEL(2) =(ca.) 5,66 cm.
mit A(+4 • WURZEL(2) ) = 128 erhälst du den Flächeninhalt. Die Grundseite des Rechtecks ist 2 • u = +8 • WURZEL(2) =(ca.) 11,31 cm. Die zweite Seite erhälst du mit 128 / (+8 • WURZEL(2)) = +8 • WURZEL(2). Die zwei Seitenlängen sind also gleich lang. Das heißt, dass es sich um ein Quadrat handelt. Der größte Flächeninhalt eines in einem Kreis mit einem Radius von r = 8 cm eingeschlossenen Rechtecks ist also der Flächeninhalt eines Quadrats mit der Kantenlänge a = +8 • WURZEL(2) . Der Flächeninhalt beträgt A = 128 FE.

Also so würde ich es machen, aber das ganze ohne Gewähr. Falls du doch etwas anderes rausbekommen solltest, sag bitte kurz Bescheid, dass würde auch mir helfen.

Gast · Verfasst am: 10 Apr 2005 - 17:00:54 Titel:

Hey,

Extremalbedingung:

F = a * b

Nebenbedingung

(2(r))² = a² + b2
=> 256 = a² + b²
=> 256 - a² = b²

Zielfunktion:

F(a)= a * (256 - a²)
=> F(a)= -a³ + 256a

Nun die Ableitung:

F'(a)= -3a² + 256

Ableitung gleich 0 Setzen:

0= -3a² + 256

Musst nun die pq Formel nehmen und a errechnen.

Wenn du a hast, setz es in die gleichung ein:

256 = a² + b²

Dann hast du b.

Schönen Tag noch, hau rein Smile

Gast · Verfasst am: 10 Apr 2005 - 18:52:43 Titel:

Gast · Verfasst am: 10 Apr 2005 - 19:03:52 Titel:

zu STP s Lösung:
Die Ableitung der Funktion kannst du dir auch erleichtern wenn du sie einfach zum Quadrat erhebst und dann erst ableitest.
Dann musst du nur noch die Produktregel beachten

STP · Newbie Anmeldungsdatum: 09.04.2005 Beiträge: 6

guter Trick, danke

Gast · Verfasst am: 11 Apr 2005 - 14:55:57 Titel:

jup, fällt mir grad auch grad auf, habs sehr schnell alles aufgeschrieben. naja ändert ja grundlegend nix, einfach dann mit Wurzel(256 - a²) weiterrechnen.

cube87 · Newbie Anmeldungsdatum: 13.10.2007 Beiträge: 43

Hi Leute hab das gleiche Prob blicke da aber nicht durch was hier geschrieben worden ist und zwar hab nen Kreis mit r=12cm
Die seiten und der max. flächeninhalt eines rechtecks sollen berechnet werden.

Mein Vorgeh nach dieser Anleitung

F= a* b

a² + b² = c²
a² + b² = 576
b = 24 -a

F = a * ( 24 - a )
= 24a - a²

Ableitung

-2a + 24 das gleich Null = -2a + 24 = 0
a = 12

Und ich krieg für die seite immer den Radius raus und für die andere dann natürlich auch.

Wo liegt der Fehler ?

cube87 · Newbie Anmeldungsdatum: 13.10.2007 Beiträge: 43

keiner da der das kann???