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von Taylorpolynom zur Summendarstellung und weiter zum Bruch
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> von Taylorpolynom zur Summendarstellung und weiter zum Bruch
 
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mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 20 Aug 2008 - 11:23:03    Titel:

.
Jetzt wird es aber langsam mühsam Evil or Very Mad

xeraniad Sad sieht bei t ein Quadrat
Zitat:

1÷(1+t²)
wo bisher keines sichtbar war (siehe tuxasus, 1.):
Zitat:

und dann zum Bruch 1 / (1+t)


und tuxasus Smile seinerseits hat unheimliche (Er)Kenntnisse:
Zitat:
der Grenzwert gibt mir 1 Zahl und keinen Bruch .

was Brüche wohl für besondere mathematische Lebewesen sein mögen ..
un zahl bar !

oh ja:

Zitat:
und wie komme ich beispielsweise mit

Summe [(-1)^n / (2n+1)] auf pi/4 ?

weil arctan(1)=pi/4

schau dir halt mal die Reihenentwicklung von arctan(x) an ... Wink
.
tuxasus
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Anmeldungsdatum: 14.03.2007
Beiträge: 127

BeitragVerfasst am: 20 Aug 2008 - 11:24:08    Titel:

von welchem Programm stammt denn der Teil nach "oder schöner" ?

glaub ohne ne gescheite Darstellung komm ich damit nicht wirklcih weiter
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 20 Aug 2008 - 11:31:33    Titel: Frage

Diese Sprache nennt sich TeX. Egal, unten steht das gleiche wie oben.
Wer kann mir erklären, was in meiner Antwort oben auf die Frage
Zitat:
... und wie komme ich beispielsweise mit Summe [(-1)^n / (2n+1)] auf pi/4 ?
falsch war? Mein "t" ist lokal hat nichts mit texasus' "t" in
Zitat:
und dann zum Bruch 1 / (1+t)
zu tun. Amüsant, nicht mühsam.
tuxasus
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Anmeldungsdatum: 14.03.2007
Beiträge: 127

BeitragVerfasst am: 20 Aug 2008 - 11:58:19    Titel:

mathefan hat folgendes geschrieben:
.
Zitat:
und wie komme ich beispielsweise mit

Summe [(-1)^n / (2n+1)] auf pi/4 ?

weil arctan(1)=pi/4

schau dir halt mal die Reihenentwicklung von arctan(x) an ... Wink
.


in diesem Fall ist der Ergebnis mal nicht mein Problem sondern wie ich das vernünftig zeige.

Wenn in der Aufgabenstellung steht, Ermitteln sie durch Betrachtung von x = 0 den Wert der Reihe, dann kann ich nicht einfach hin schreiben = arctan(1) = pi / 4 das gibt nämlich keine Punkte =(

@xeraniad; wo kommt denn dein 1/(1+t²) der rest macht Sinn =)
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
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BeitragVerfasst am: 20 Aug 2008 - 12:12:43    Titel: Woher kommt das "1÷(1+t²)"?

Ich würde "Betrachtung der Reihe bei x = 1" vorziehen.
Wie kommt man auf 1÷(1+t²)?

Zum Beispiel so: mit
"∑n=0…∞ (-1)^n ÷ (2·n+1)"
könnte
"∑n=0…∞ (-1)^n ÷ (2·n+1) ·t^(2·n+1)"
für t = 1 gemeint sein (es wurde absichtlich "t" und nicht "x" gewählt, damit das nicht später mit dem Variablennamen "x" kollidiert). Wird dies nach t differenziert, entsteht
"∑n=0…∞ (-1)^n ·t^(2·n)".
Das ist die Summenform für eine unendliche geometrische Reihe: "1÷(1-{-t²})" [jetzt für |t| < 1].
Das war der Hinweg, welcher nicht in der Lösung enthalten sein muss, aber welcher erklärt, woher das "1÷(1+t²)" kommt.

Jetzt kann der Rückweg mittels Integration begangen werden, welcher dann eine Herleitung dessen bedeutet, wonach gefragt wurde.
1÷(1+t²) = ∑n=0…∞ (-1)^n ·t^(2·n)
Jetzt können beide Seiten bestimmt von 0 bis x integriert werden, dann kann 1 für x eingesetzt werden, und eine Herleitung ist gefunden. (Oder es kann gleich bestimmt von 0 bis 1 integriert werden).


Zuletzt bearbeitet von xeraniad am 20 Aug 2008 - 20:41:17, insgesamt 4-mal bearbeitet
tuxasus
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Anmeldungsdatum: 14.03.2007
Beiträge: 127

BeitragVerfasst am: 20 Aug 2008 - 12:26:49    Titel:

ah ok der Weg ist klar, aber wie kommt man auf sowas ? Shocked

ist das jetzt ein Standartweg den ich gehen kann um sowas zu bestimmen, einfach ein sinnvolles x^(ax+b) suchen, dann ableiten, schauen welche Reihe das ist und diese dann wieder von 0 - x integrieren ?
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
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BeitragVerfasst am: 20 Aug 2008 - 12:41:16    Titel: wohl nicht Standard

Ich glaube nicht, dass dies der "Standard-"Weg war, sonst müsste genauer definiert sein, was für Aufgaben damit gelöst werden können.

Analog könnte die binomische Reihe für "1÷√{1-t²} (= {1+[-t²]}^{})" auf die Reihenentwicklung der "asin()"-Funktion geführt werden.

Aber wie kommt man wirklich darauf? Ehrlich gesagt hatte mich die angegebene Summe gleich an die "atan()"-Reihenentwicklung erinnert (kenne sie nicht auswendig, aber hab schnell nachgecheckt).

Generell könnte man sagen: Man sucht nach etwas einfacherem (hier eine unendliche geometrische Reihe in {-x²}), woraus man das komplexere (durch irgendeinen Trick, hier mittels bestimmter Integration von 0 bis x) herleiten kann.

Bei geom. ReiheVarianten beispielsweise ist ebenfalls ein "Trick" (mittels Differentiation, nicht Integration [wie dort steht]) angegeben.


Zuletzt bearbeitet von xeraniad am 20 Aug 2008 - 21:00:13, insgesamt einmal bearbeitet
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
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BeitragVerfasst am: 20 Aug 2008 - 20:53:40    Titel: Frage zur Konvergenz.

Weshalb konvergiert "∑k=0…∞ (-1)^k ·1÷(2·k+1) ·z^(2·k+1)" {[; \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \cdot \frac{z^{2\cdot k + 1}}{2\cdot k + 1};]} [eine Reihenentwicklung für "atan(z)"] für ¦z¦ = 1 dennoch?
Gemäss Quotientenkriterium wäre Konvergenz für das Gleichheits-Zeichen nicht gegeben (Konvergenz nur für ¦z¦ < 1).
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