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definitheit von Matrizen
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cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 21 Aug 2008 - 19:23:06    Titel:

jef hat folgendes geschrieben:
beweisen kann ichs nicht in diesem Fall vertraue ich blind auf das was mir gelehrt wurde


Soll ich dir ein Gegenbeispiel konstruieren?

Geht ganz einfach:

Wir betrachten mal eine symmetrische 2x2-Matrix M mit den Einträgen a, b, b und d.

Dann ist det M=ad-b^2. Für ad>b^2 ist det M positiv. Sobald aber a<0 ist, ist M nicht mehr positiv definit.

Also betrachte z.B. mal die Matrix

(-1 2)
(2 -5).


Cyrix
tuxasus
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Anmeldungsdatum: 14.03.2007
Beiträge: 127

BeitragVerfasst am: 21 Aug 2008 - 20:08:11    Titel:

ja Moment jetzt ist hier aber von unterschiedlich dimensionalen Matrizen

2x2 ist ein Sonderfall bei welchem man auf den Wert (wie im bsp.) achten muss, das ist korrekt und wurde bei der obrigen Beschreibung nicht ausgeschlossen, war also mein Fehler.

die Determinante einer nxn Matrix mit n > 3 setzte sich aus den Determinanten der Minori zusammen, folglich müssen diese natürlich berücksichtigt werden, dies ändert aber nichts daran, dass letztendlich die Determinante betrachtet werden kann

bei einer 3x3 Matrix brauche ich die Unterdeterminanten (Minori) nicht zu berücksichtigen, da die determinante nach der Regel von Sarrus die det. direkt berechnen

korrigiert mich bitte wenn ich da falsch liege
Jonsy
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Anmeldungsdatum: 11.02.2007
Beiträge: 3098

BeitragVerfasst am: 21 Aug 2008 - 20:19:51    Titel:

Zitat:
bei einer 3x3 Matrix brauche ich die Unterdeterminanten (Minori) nicht zu berücksichtigen, da die determinante nach der Regel von Sarrus die det. direkt berechnen


Deine Begruendung hast du aber gut in schlechtem Deutsch verschachtelt. Ist uebrigens nicht richtig, nur ist es mit wachsender Dimonsion zunehmend muehsamer, Gegenbeispiele zu Konstruieren... Vllt hat ja Cyrix nochmal lust dazu. Very Happy

So oder so (selbst wenn es bei ner 3x3-Matrix ginge), ist die "Definition" von pos. Definitheit, die hier mehrfach angegeben wurde, einfach falsch. Man moege sich einfach den Wiki-Artikel nochmal durchlesen.

Jonsy
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 21 Aug 2008 - 20:23:43    Titel:

Man sollte eigentlich gesehen haben, dass sich analoge Beispiele konstruieren lassen...

Nimm z.B. für nxn-Matrizen (n>=2) die Einheitsmatrix, bei der die ersten zwei Einsen auf der Hauptdiagonale durch -1 ersetzt wurden.

Dann ist die Determinante dieser Matrix gleich 1, während der erste Einheitsvektor e_1 offensichtlich auf -e_1 abgebildet wird, die zugehörige quadratische Form diesen Vektor also auf -1 schickt.

Diese Matrix ist also offenbar nicht positiv definit.


Cyrix
jef
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Anmeldungsdatum: 20.08.2008
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2008 - 09:29:02    Titel:

wohl wahr, da kann man wenig gegen sagen
jef
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Anmeldungsdatum: 20.08.2008
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2008 - 11:22:06    Titel:

danke übrigens Smile
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