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Goniometrische Gleichungen
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Goniometrische Gleichungen
 
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dura
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Anmeldungsdatum: 20.08.2006
Beiträge: 178

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2008 - 12:38:51    Titel: Goniometrische Gleichungen

hab da gerade eineige probleme.

folgende gleichung:

cos^2(x)+2cos(x)-sin^2(x)+1=0

formel das mit substit. um (y=sin^2(x) ...) und erhalte schlussendlich

y^2-y=0

also ergebnis y1=0, y2=1

jetzt rücksubst.:

sin^2(x)=0 --> sin(x)=0 --> x1=0+2*k*Pi bzw. Pi +2*k*Pi

sin^2(x)=1 --> sin(x)=1 --> x2= Pi/2 + 2*k*Pi


lösund is aber:

x=Pi/2 + k*pi
x'=Pi + 2*k*Pi


jetzt vertseh ich schon malbei 1) das k*Pi nicht, da ja periodizität 2Pi is..und nicht Pi --> müsste also + 2*k*Pi sein oder?????

generell sind sinus ergebnisse doch immer
1) sinx=sin(x+2kPi)
2) sind(Pi - x) = sin(x)



vielen danke schon mal
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2008 - 12:47:48    Titel:

.
Zitat:
cos^2(x)+2cos(x)-sin^2(x)+1=0

formel das mit substit. um (y=sin^2(x) ...)


schau mal, was wird, wenn du richtig substituierst ..
mit y= cos(x) ...
-> y^2 + y = 0 Smile
.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24251

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2008 - 12:48:28    Titel:

Hallo!

Die ersten Lösungen für sin(x)=0 sind "zusammengefasst". Du hast ja im Intervall [0;2Pi[ Zwei Lösungen, welche jeweils mit Periodizität 2k*Pi "fortgeschrieben" werden. Aber wo liegen diese biden Lösungen? Smile

Cyrix
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2008 - 12:55:58    Titel:

Endlich fertig cyrix42 Very Happy
Zitat:
Aber wo liegen diese biden Lösungen? Smile

hast du dir denn die Aufgabe angeschaut:
Zitat:
cos^2(x)+2cos(x)-sin^2(x)+1=0

formel das mit substit. um (y=sin^2(x) ...) Evil or Very Mad
Question
.
Holla!
dura
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Anmeldungsdatum: 20.08.2006
Beiträge: 178

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2008 - 15:44:47    Titel:

mathefan hat folgendes geschrieben:
.
Zitat:
cos^2(x)+2cos(x)-sin^2(x)+1=0

formel das mit substit. um (y=sin^2(x) ...)


schau mal, was wird, wenn du richtig substituierst ..
mit y= cos(x) ...
-> y^2 + y = 0 Smile
.


aber müsste das nicht egal sein ob ich mit sin(x) oder mit cos(x) substituiere?

jetzt bekomme ich

cosx=0 -->x= Pi/2 + 2kPi und 3ÜPi/2 + 2kPi
cosx=-1/2 -->x=2*Pi/3 + 2kPi und 4*Pi/3 + 2kPi



??


btw... da hätte ich noch eine frage:

cos^2(x)+sin^2(x)=1 leitet sich ja vom pythagoras ab
aber das gilt ja nur für rechtwinkl. dreiecke..?!

und noch was... hat zufällig jemand ein paar durchgerechnete Bsp. wie das genau funktioniert mit dem ganzen cos2x, sin^2(x) usw... kann mir da überhaupt nichts drunter vorstellen. wie ich damit rechnerisch umgehe.
mal von den additionstheoremen abgesehen

und die allerwichtigste frage:

was wenn ich dann sowas habe 2*(+/-sqrt(1-y^2))
was passiert da mim +/- vor der klammer??
muss ich da einmal mit + und einmal mit - und das dann addieren oder wie?
checks nicht
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2008 - 16:12:08    Titel:

.
Zitat:
aber müsste das nicht egal sein ob ich mit sin(x) oder mit cos(x) substituiere?
NEIN..
aber:na ja,.. wenn es dir egal ist.. Very Happy
ausserdem hast du ja noch den Fehler gemacht, dass du y=sin^2(x) .
substituiert hast
meinst denn wirklich, auch das mit dem Quadrat ist egal?..

also denn..

Zitat:
mit y= cos(x) ...
-> y^2 + y = 0
...

jetzt bekomme ich
cosx=-1/2 Sad

lustig - wie kommst du hier auf Halbe? Sad


Zitat:
cos^2(x)+sin^2(x)=1 leitet sich ja vom pythagoras ab
aber das gilt ja nur für rechtwinkl. dreiecke..?!

u=cos(x)
v=sin(x)
u^2 + v^2 = 1
also: schau mal unter dem Stichwort "Einheitskreis" nach..
da kannst du dann schön "durchdrehen" .. von 0° bis 360°
und wenn du nicht aufhörst weil dir schwindlig wird, kannst du beliebig weiterrotieren:
cos^2(1000°)+sin^2(1000°) = ? Wink
.
dura
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Anmeldungsdatum: 20.08.2006
Beiträge: 178

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2008 - 16:16:05    Titel:

ok, ich steig shcon bei aufgaben aus, wie:

sin2x=-0,5


also 2sinx*cosx=-0,5

substituier y=sinx und cosx=+/- sqrt(1-y^2)

und komm dann auf

2y*(+/-sqrt(1-y^2))=-0,5

was mach ich mit dem +/- ??
ich quadrier also vorsichtshalber ...

usq usf

und schlussendlich steht da:

4y^2-4y^4=0,25

??
dura
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Anmeldungsdatum: 20.08.2006
Beiträge: 178

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2008 - 16:21:33    Titel:

mathefan hat folgendes geschrieben:
.
Zitat:
aber müsste das nicht egal sein ob ich mit sin(x) oder mit cos(x) substituiere?
NEIN..
aber:na ja,.. wenn es dir egal ist.. Very Happy
ausserdem hast du ja noch den Fehler gemacht, dass du y=sin^2(x) .
substituiert hast
meinst denn wirklich, auch das mit dem Quadrat ist egal?..


ja dachte schon, dass das egal ist.
versteh ehrlich gesagt nicht wieso nicht?

mathefan hat folgendes geschrieben:
.
also denn..

Zitat:
mit y= cos(x) ...
-> y^2 + y = 0
...

jetzt bekomme ich
cosx=-1/2 Sad

lustig - wie kommst du hier auf Halbe? Sad


2*y^2+y=0 --> y(y+1/2)=0

mathefan hat folgendes geschrieben:
.
Zitat:
cos^2(x)+sin^2(x)=1 leitet sich ja vom pythagoras ab
aber das gilt ja nur für rechtwinkl. dreiecke..?!

u=cos(x)
v=sin(x)
u^2 + v^2 = 1
also: schau mal unter dem Stichwort "Einheitskreis" nach..
da kannst du dann schön "durchdrehen" .. von 0° bis 360°
und wenn du nicht aufhörst weil dir schwindlig wird, kannst du beliebig weiterrotieren:
cos^2(1000°)+sin^2(1000°) = ? Wink
.


=1 Smile wieso das so is hab ich aber auch noch nicht begriffen. das am einhzeitskreis hab ich mir angeschaut, fällt mir aber noch recht schwer intuitiv damit umzugehen und das alles "deuten" zu können
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2008 - 16:57:54    Titel:

.
http://de.wikipedia.org/wiki/Winkelfunktion
und gib doch mal bei Google ein:
Winkelfunktionen am Einheitskreis
da bekommst du jede Menge Hilfe , zB.
http://www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Vorlesungen/Klasse10/Trigonometrie/winkelfunktionen.htm
http://home.fonline.de/fo0126//geometrie/geo37.htm
usw
usw

Zitat:
ok, ich steig shcon bei aufgaben aus, wie:

sin2x=-0,5

da wirst du dann sehen, dass gilt:
sin(w) = -0,5
für w= 225° oder 315° oder (225 +360)° oder (315+360)° oder.. usw..

und weil in deinem Beispiel w= 2x ist, gilt dann für x:
x= 112,5° oder 157,5° oder 292,5° oder 337,5° oder usw...
(die Umrechnung vom Grad- ins Bogenmass wirst du wohl schaffen, falls nötig?


das war:
Zitat:

-> y^2 + y = 0

wie kommst du dann auf
Zitat:

2*y^2+y=0

also: aus welcher undurchschaubaren Eingebung kommst du zum Faktor 2 vor dem y^2 ?

usw.. usw..
.
dura
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Anmeldungsdatum: 20.08.2006
Beiträge: 178

BeitragVerfasst am: 23 Aug 2008 - 14:37:13    Titel:

also die eine aufgabe hab ich jetzt ... hab mich bissl verrechnet Smile

aber bei der sin2x=-0.5 ...
dann hab ich also zb

sin(w)=-0.5

arcsin(sin(w))=-0.5236...

x=w/2=-0.2618....

also ungefähr -15°

zwischen [0,2*Pi[ sollen aber 4 ergebnisse liegen?!

ein weiteres ist ja sin(x)=sin(Pi-x) = 3.4034 also ungefähr 195°



aber zum einen stimmen meine 2 erg. nicht und wie sollte man auf noch 2 kommen?

help




edit:
2 ergebnisse hab ich jetzt doch noch rausbekommen:

165° und 285°

hab aber keine ahnung wieso man bei 2x=..... auf der rechten seite die periode anschreiben und mitdividieren muss ?!

und die anderen beiden läsungen fehlen nach wie vor
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