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Ableitungsfunktionen bestimmen - differenzquotient
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toffa
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Anmeldungsdatum: 06.09.2004
Beiträge: 189

BeitragVerfasst am: 11 Apr 2005 - 23:03:50    Titel: Ableitungsfunktionen bestimmen - differenzquotient

hallo.
ich soll mit hilfe des differnzquotienten die ableitungen der funktionen bestimmen. (nicht mit ableitungsregeln)

differenzquotient:

lim (für x-> x_0) [f(x)-f(x_0)]/[x-x_0] = f'(x)

1. f(x) = 2x^4 + x
2. f(x) = x + 1/x
3. f(x) = 1/(x+1)
4. f(x) = x² + sqrt(x)

ich (und ein freund) wir haben ziemlich lange rumprobiert, aber kommen einfach nicht auf lösungen...
wäre sehr nett wenn mir jemand helfen könnte.
muss auch nicht alles vorgerechnet sein, wenn ich es verstehe reicht es auch die einzelnen rechenschritte nur zu beschreiben... ich müsste dann schon verstehen was zu tun ist, aber im moment komm ich auf keine lösung...
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 11 Apr 2005 - 23:27:26    Titel:

Hallo toffa,

ich gehe davon aus, das ihr auch die andere Form des Differenzenquotienten benutzen dürft.

lim h->0 ( (f(x+h)-f(x)) / h)

Beispiel 1. Aufgabe
Code:
f(x) = 2*x^4 + x

lim (f(x+h) - f(x)) / (h) = (2(x+h)^4 +x+h - (2x^4+x))/h=
(2* (x^4 + 4x³h + 6x²h + 4xh³ + h^4 )+ x+h-2(x^4)-x) / h =
(2*(4x³h + 6x²h² + 4xh³ + h^4)+h) / h = 2*(4x³ +6x²h+4xh²+h³)+1
da h->0 => lim (f(x+h) - f(x)) / (h) = 2*4x³+1


Wenn die anderen Differenzenquotienten auch benötigt werden melde dich.

Gruß
Dirk


Zuletzt bearbeitet von DMoshage am 12 Apr 2005 - 09:04:52, insgesamt einmal bearbeitet
toffa
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Anmeldungsdatum: 06.09.2004
Beiträge: 189

BeitragVerfasst am: 11 Apr 2005 - 23:40:12    Titel:

ja stimmt. wir haben beide.
aufgabenstellung ist, dass man beide möglichkeiten benutzen soll....
also ich müsste beide können^^

und es leuchtet mir auch so ein, nur den schritt hier verstehe ich nicht

(2*(4x³h + 6x²h + 4xh³ + h^4)+h) / h = 2*(4x³ +6x²h+4xh²+h³)+1

wieso verschwindet da einfach das h? das +1 hinten ist logisch, aber man darf doch nicht einfach aus dieser summe die h rauskürzen, oder was hast du da gemacht?
toffa
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Anmeldungsdatum: 06.09.2004
Beiträge: 189

BeitragVerfasst am: 11 Apr 2005 - 23:53:11    Titel:

also ich geh jetzt mal ins bett. vielen dank schonmal! wär cool wenn du mir das nochma aufm anderen weg vorrechnen könntest, und auch den einen schritt oben erklären könntest.(am donnerstag schreib ich klausur)
vielen dank für die hilfe Smile
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 12 Apr 2005 - 09:03:52    Titel:

Hallo toffa,

zuerst zum h. Natürlich kannst du das h kürzen. Allerdings habe ich hier

(2*(4x³h + 6x²h²+ 4xh³ + h^4)+h) / h = 2*(4x³ +6x²h+4xh²+h³)+1

noch einen Tippfehler.

Der Ansatz (x-x0) funktioniert genauso wie der Ansatz mit dem h.

Ich mach das mal nur mit x^4, da Summanden sowieso getrennt differenziert werden können.

lim x-x0 (f(x)-f(x0))/(x-x0) = (x^4-x0^4) / (x-x0)
Anwendeung der binomischen Formel (a+b)(a-b) = a²-b²

= ( (x²+x0²)(x²-x0²))/(x-x0)
= ( (x²+x0²)(x+x0)(x-x0))/(x-x0) | (x-x0) kürzen
= (x²+x0²)(x+x0)
= x³ + x0²x+x x0²+ x0³ Übergang x->x0
= x0³ + x0³ + x0³ + x0³
= 4x0³

Welches Verfahren einfacher ist, ist von Fall zu Fall verschieden. Ich kam (damals) mit dem h->0 besser zurecht.

Gruß
Dirk
toffa
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Anmeldungsdatum: 06.09.2004
Beiträge: 189

BeitragVerfasst am: 12 Apr 2005 - 13:42:13    Titel:

ahja ok, ist schon einleuchtender. dann werde ich mehr mit beiden möglichkeiten rechnen. ich glaub ich brauch noch mehr den blick dafür wann ich was wie ausklammern muss damit ichs kürzen kann und somit den limes bestimmen kann... damit hab ich probleme...werd noich ein bissl üben^^

vielen dank für die hilfe Smile

greetz
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