Logarithmus

dura · Full Member Anmeldungsdatum: 20.08.2006 Beiträge: 178

folgende aufgabe:

lg ((a^2-b^2)^2) / (a^4-b^4)

rauskommen sollte:

lg |a+b| + lg | a-b| - lg | a^2+b^2|

was ich nun nicht verstehe ist, wo kommen die beträge her??

woher weiss ich wann ich dort beträge brauche??

und eine kleine frage zu maple, vielleicht kann mir ja wer weiterhelfen.

in maple is ln =natural logarithm , also der natürliche log.
log = general logarithm und log10 = common logarithm

was bedeutet general logarithm ?

common logarithm dürfte der dekadische log sein oder?
bin bissl verwirrt.

wenn ich zb. log(1/10) eingebe, bekomme ich als ergebniss -ln(10)
was bedeutet das?

rOYAL. · Verfasst am: 10 Sep 2008 - 19:15:46 Titel:

tipp mal

log -5

in deinen Taschenrechner

dura · Full Member Anmeldungsdatum: 20.08.2006 Beiträge: 178

ahhhh ... ich horst : )

víelen dank!

hast für das maple prob zufällig auch ne idee ??

was auch schräg is:

bei log10(10^(-1/3)); bekomme ich in maple als ergebnis:
ln((1/10)*10^(2/3))/ln(10)

merkwürdig ...

wobei ich bei log10(10^(1/3)) das korrekte ergebnis 1/3 bekomme

rOYAL. · Verfasst am: 10 Sep 2008 - 19:32:16 Titel:

The General Logarithm

Let b > 0.

If y = b^x, then we write logb(y) = x or simply logb y = x (read "log of y with base b")

Note: logb y is not defined for y ≤ 0 , as y = bx > 0 for any x (as b > 0).

dura · Full Member Anmeldungsdatum: 20.08.2006 Beiträge: 178

das is also nur die bezeichnung dafür, dass ich die basis wählen kann oder?? bzw erst wählen muss

halt b>0 und ungleich 1

dariane · Full Member Anmeldungsdatum: 06.09.2008 Beiträge: 322

Logarithmus bedeutet Hochzahl.

Sobald deine Hochzahl unbekannt ist, kommt der Logarithmus ins Spiel.

Der funktioniert nach den log-Gesetzen, die total logisch sind.

die log-Gesetze:

log(a * b) heißt: Was passiert mit den Hochzahlen, wenn die Basis multipliziert wird?
z.b. x² * x³ = xhoch2+3

d.h. die Hochzahlen werden addiert.

daher:

log(a * b) = log a + log b

wenn unterm log eine Division steht:

log(a/b)=

was passiert mit den Hochzahlen, wenn die Basis durchdividiert wird? - Sie werden subtrahiert. Daher:

log (a/b) = loga - logb (was wortwörtlich heißt: Hochzahl von a - Hochzahl von b)

daher log (1/10) = log 1 - log10 = 0 - log10 = - log10

3. log-Gesetz:

log a³ = 3 * loga

= das wichtigste Log-gesetz, denn es besagt, sobald eine Zahl unterm log steht, darf man die Hochzahl nach vor multiplizieren, deswegen ist es ja überhaupt möglich eine unbekannte Hochzahl runter zu kriegen, indem man die Gleichung unter log setzt:

3^x = 7 ...| *log

log3^x = log7

x * log3 = log7

x = log7/log3

so kann man x berechnen.

Wenn da steht:

³log2.....dann muss man das umformen in:

3 ist die Basis, 2 ist das Endergebnis und dazudenken muss man sich = unbekannte Hochzahl

also:

³log2 = x
und dann auflösen in:

3^x = 2

-->>> das ist absolut wichtig für log und ln-Funktionen, wenn man Nullstellen und so weiter berechnen muss!!!!

Zwischen log und ln gibts folgenden Unterschied:

log hat die Basis 10 , ln hat die Basis e (=eulersche Zahl = 2,718irgendwas)

log1 bedeutet daher:
10 ist die Basis, die wird gar nicht mehr links oben dazu geschrieben, 1 ist das Endergebnis und dazudenken muss man sich = unbekannte Hochzahl

log1=x

10^x = 1

10 hoch was? ist 1? 10 hoch 0 ist 1. Daher ist log1 = 0

log10 -->> umschreiben in: 10^x = 10 ---> x = 1
daher: log10 = 1

log-10 ---> umschreiben in: 10^x = -1
und du wirst keine Hochzahl für 10 finden, sodass -1 rauskommt.

DAHER DARF UNTERM LOG KEINE MINUSZAHL STEHEN

log0 ---> 10^x = 0
du wirst keine Hochzahl finden, sodass 0 herauskommt.
Deswegen darf auch keine Null unterm log stehen.

Es bleibt völlig dir überlássen, ob du eine Gleichung unter log oder unter ln setzt.
Die Gesetze sind für beide gleich

log = dekadischer logarithmus...basis = 10
ln = natürlicher Logarithmus basis = eulersche Zahl e

Noch ein paar wichtige ln's:

lne .....umschreiben in: e^x = e...........ehoch1= e

ln1....e^x= 1.....e^0 = 1....x=1

lg, dari

dura · Full Member Anmeldungsdatum: 20.08.2006 Beiträge: 178

danke für die umfangreiche antwort.
im großen und ganzen is mir das eigentlich klar.

ich versteh allerdings nicht, wie das mim umrechnen vom dekadischen in den nat. log funktioniert.
also wie es geht weiß ich, aber nicht wieso?!

die log gesetze kann man sich ja schön herleiten.
aber bei der umrechnung tu ich mich schwer, mir das herzuleiten

ich glaube damit hängt auch irgednwie zusammen, dass maple fast aller ergebnisse als ln .../ ln(10) ausgibt

dariane · Full Member Anmeldungsdatum: 06.09.2008 Beiträge: 322

also...eigentlich hab ich oben schon alles notwendige geschrieben, damit du log in ln umwandeln kannst. Aber ich zeigs dir mal an einem Beispiel:

wenn du log10 hast, rechnest du so um:

log10 bedeutet ja, so wie ich oben geschrieben hab, in Wirklichkeit folgendes:

log10 = x

und das nun umformen:

10^x = 10

und nun hast du die Gleichung log-frei und kannst sie unter ln stellen:

ln10^x = ln10

x * ln10 = ln10

x = ln10/ln10

x = 1

lg, dari

dura · Full Member Anmeldungsdatum: 20.08.2006 Beiträge: 178

hi dariane, danke erst mal für die geduld Smile

ahhh deshalb macht das immer ln.../ln...

mit dem umrechnen meinte ich log in log zu beliebiger anderen basis umrechnen
die sache mit lg(a)=0,43429 ln(a)

und da weiß ich zwar wies funzt, aber nicht wie man sich das herleiten kann.
also mir fehlt das wieso

und da hab ich gleich noch eine kleine frage
folgendes bsp.:

ln(sqrt(5e/e^ln5)) --> ln(5e/5)^(1/2) --> ln(e)/2 --> 1/2

das is richtig so und passt

meine frage is, wieso man nicht zb.
ln(5e) zu ln(5)+ln(e) machen kann

bzw die ganze rechnung anders angehen

ln(sqrt(5e/e^ln5)) --> 1/2*(ln(5e)-ln(e^ln5)) -->

1/2*((ln5+lne)-(ln5*lne))

wie gesagt, ich weiß wies richtig geht.
was mich intererssiert is wieso das nicht auch so geht??
ich kann nicht erkennen wo ich da gegen mathematische gesetze verstoße?!

dariane · Full Member Anmeldungsdatum: 06.09.2008 Beiträge: 322

Wieso...das ist doch eh dasselbe, bloß umständlicher. Rechne doch mal weiter aus:

1/2 * [ (ln5 + 1) - (ln5 * 1)] = 1/2 * 1 = 1/2

Das genau ist ja das Wichtige dabei. Man muss soviel Übung haben, dass man auf Anhieb sieht, wie man sichs am leichtesten auflösen und am schnellsten zum Ergebnis kommen kann.
In deinem Hirn muss brennen: lne = 1

Die speziellen ln's und log's kennen, alle log-Gesetze, Potenzgesetze usw...

Das, was ich in den vorigen Beispielen so ausführlich erklärt hab - DA ist JEDES einzelne Detail von absoluter Wichtigkeit - ich hab absolut nix unwichtiges dazu geschrieben, sondern genau DIE Sachen, von denen ich weiß, dass sie euch an den Lösungen scheitern lassen.

Und deine obige Frage ist genau das, was ich dir vorgerechnet hab:

lg(a) = 0,43429 * ln(a)

von lg ist die Basis 10, a ist das Endergebnis, was rechts vom =-Zeichen steht ist die unbekannte Hochzahl x

Daher:

lg(a) ---> 10^x = a --> unter ln setzen: ln10^x = lna --> x = 1/ln10 * lna --> dann 1/ln10 am TR ausrechnen - ergibt: x = 0,43429 * lna

also kann man gleichsetzen:

lg(a) = 0,43429 * ln(a)

Glaub mir, mit dem, was ich dir geschrieben hab, kannst du absolut ALLES bei log/ln berechnen.
Es ist bloß wichtig, dass du JEDES Detail, das ich geschrieben hab, genau durchgehst und durchübst.

lg, dari

dura · Full Member Anmeldungsdatum: 20.08.2006 Beiträge: 178

shit ...häng wiedermal Smile

x^(log5(5x)-4)=625

hab jetzt log gemacht (log5 = log zur basis 5 ...)
weiß allerdings nicht genau wie ich mit dem expponenten verfahren soll, weil das -4 nicht mit in der klammer steht?!

log5((5x)-4) * log5(x)=log5(625)

oder

log5(5x)-4*log5(x)

oder bleibt die -4 im exponenten stehen??

ich bin mal davon ausgegangen, dass es
(log5(5x)-4)*log5(x)=4
ist

nur wie gehts dann weiter? (sodenn das stimmt)

Annihilator · Verfasst am: 13 Sep 2008 - 13:25:09 Titel:

(log[5](5x)-4) * log[5](x) = 4
(log[5](x)-3) * log[5](x) = 4
0 = (log[5](x))² - 3 log[5](x) - 4

y := log[5](x)

0 = y² - 3y - 4

Rest sollte klar sein.

dura · Full Member Anmeldungsdatum: 20.08.2006 Beiträge: 178

jo, rest sollte mir klar sein.
aber den schritt kapier ich nicht

(log[5](5x)-4) * log[5](x) = 4
(log[5](x)-3) * log[5](x) = 4

Annihilator · Verfasst am: 13 Sep 2008 - 13:36:28 Titel:

log[5](5x) = log[5](5) + log[5](x) = 1 + log[5](x)

dura · Full Member Anmeldungsdatum: 20.08.2006 Beiträge: 178

vielen dank

kann man eigentlich sachen wie

x=(lg22-lg25)/(lg15-lg7)

auch ohne TR lösen?