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Wer kann mir die Fourier Reihen erklären !
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Wer kann mir die Fourier Reihen erklären !
 
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Vechs
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Anmeldungsdatum: 22.03.2005
Beiträge: 30

BeitragVerfasst am: 12 Apr 2005 - 19:05:11    Titel: Wer kann mir die Fourier Reihen erklären !

Hallo,
nachdem ich am Montag erfolgreich Anatomie geschrieben habe und erstmal ans Faulenzen dachte meinte mein Prof mir heute sagen zu müssen ich solle für meine Mathenachprüfung(3a Versuch, also wirklich wichtig) am Donnerstag die Fourier Reihen erklären können. Na super, keine Ahnung warum der wiedermal genau das nehmen musste was ich überhaupt nicht kann.
Den ganzen Tag hab ich nunmal wieder in Büchern gewälzt und bin immer noch nicht schlauer, wie funktioniert das Ding und was macht es ( nur Funktionsangleichung ???)
Wäre echt super nett wenn mir das einer mal für nen DAS (dümmsten anzunehmenden Studenten) erklären könnte. Wie komm ich auf die Formel mit a0/2 ? Wie errechne ich bn,an, woran erkenn ich ob es sich um eine gerade oder ungerade Fortsetzung handelt ? usw usw usw. Grob gefragt : Was ist das ? Wink

Ist das wirklich so schwer wie ich gerade denke oder bin ich nur so doof ? Wink

Falls einer Dateien oder Seiten dazu hat, kann er die auch gerne an meine Mail schicken : tazthedevil@hotmail.com als betreff aber bitte irgendwas von mathe oder Fourier schreiben.
Bin für alles dankbar !!!

Mfg, Vechs ( der verzweifelte)
R@W
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Anmeldungsdatum: 06.03.2005
Beiträge: 540
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BeitragVerfasst am: 12 Apr 2005 - 21:16:02    Titel:

forierreihen, machen nur bei periodischen signalen sinn; man nähert die funktion durch eine summe von sinus und sosinus termen an; genauso wie bei der taylorreihe macht auch diese reihe nur sinn, wenn die vorfaktorne höher summen terme stetig abnimmt und gegen null geht.
wie man die an und bn genau betsimmt hab ich jetzt nicht im kopf, dürfte aber sso was folgendes sein:
an=integral (von 0 bis 2*pi) 1/(2*pi*T) *sin(t)f(t) dt die bn terem dürften änlich blos halt mit cosinus sein (oder hab ich jetzt an und bn vertauscht???) den vorfaktor solltest du auch mal überprüfen Wink
jedenfalls sind die meisten signal die du betrachten wirst streng genommen weder okt noch achsensymetrisch; pkt-symmetrie sagt folgendes aus: f(x) = -f(-x) was nichts weiter bedeutet, das du die fkt durch drehen um 180° im koord.urpsrung genau in sich selbst über führts. genauso wie der sinus; (deshalb wird ein signal das diese eigenschaft auch nur eine summe von sinustermen besitzen) achsensymetrische fkt werden so dargestellt f(x) = f(-x) was bedeutet, das du die fkt an der yachse in sich selbst spiegeln kannst, wie der cos halt (also werden solche fktionen nur durch cos dargestellt)
zur die meisten fktionen die man normalerweise betrachtet sind entweder achsensym. oder eine um einen bestimmten wert nach oben oder unten verschobene pktsym. fkt (da die fkt verschoben ist, ist sie streng genommen nicht mehr sym, sie wird dennoch nur durch sin dargestellt und besitzt aber ein a0 was die fkt entlang der y-achse verschiebt)
d.h. es lohnt sich ein symmetri betzrachtung zu machen um sich nötige cos bzw sin terem zu sparen, da es immerhin das ersparnis eienes integrals bedeutet; wenn die fktion offensichtlich keins von beiden ist, kann man eventuelle durch verschieben der fktion entlang der x-aches sie zu einer symetrie "überreden" und dann nach entwickeln der reihe für die verschoben fkt für t einfach t+verschiebung einsetzen (sozusagen ein kleiner trick Wink )
Vechs
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Anmeldungsdatum: 22.03.2005
Beiträge: 30

BeitragVerfasst am: 13 Apr 2005 - 09:04:44    Titel:

hm das hört sich soweit ja ganz gut an ! und was mach ich nu damit Wink
Naja ich kann meinem Prof zwar nun erzählen was ich da tue, aber wie tue ich das nu genau Wink
Fang ich immer mit der Formel a0/2 an oder wie ?

Mfg, Vechs
Vechs
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Anmeldungsdatum: 22.03.2005
Beiträge: 30

BeitragVerfasst am: 13 Apr 2005 - 19:40:39    Titel:

push
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 13 Apr 2005 - 22:06:17    Titel:

Was willst Du denn damit machen. Ich meine mit den Reihen? Approximieren, Analyse oder was theoretisches?

Es geht ja im Wesentlichen um eine Orthonormal-Entwicklung bezüglich einer abzählbaren Basis in einem dichten (Sup-Norm -> Pr-Hb. Norm) Prähilbertraum.

Ich habe im Grundstudium an dieser Stelle immer ein paar Kapitel im Analysis-Buch übersprungen. Bin irgendwie ein Gegner von der komplexen e-Funktion.
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 13 Apr 2005 - 22:19:08    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Es geht ja im Wesentlichen um eine Orthonormal-Entwicklung bezüglich einer abzählbaren Basis in einem dichten (Sup-Norm -> Pr-Hb. Norm) Prähilbertraum.

Das stößt mir etwas sauer auf... Was meinst du mit "dichtem Prähilbertraum"-dicht worin? Und dass die Basis abzählbar ist, ist eine der Eigenschaften eines (Prä-)Hilbertraumes, das braucht man nicht dazusagen. Wink

Ansonsten kann ich mich den Fragen von algebrafreak nur anschließen: wir müssten schon genauer wissen, wie die Aufgaben aussehen sollen.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 13 Apr 2005 - 23:19:46    Titel:

Lange nichts mehr von dir gehört Smile

Zitat:
Was meinst du mit "dichtem Prähilbertraum"-dicht worin? Und dass die Basis abzählbar ist, ist eine der Eigenschaften eines (Prä-)Hilbertraumes, das braucht man nicht dazusagen.


Korrigiere mich, wenn ich falsch liege, aber ein Prähilbertraum ist einfach ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt drauf. Das impliziert soweit nicht, daß die Basis abzählbar ist.

Das oben ist nicht schön. Ich habe versucht den Beweis und die Aussage zu vermischen.

Der Vektorraum aufgespannt von den Basisvektoren X_n ist ein Prähilbertraum (als Teilraum eines Prähilbertraumes) und liegt dicht (bezüglich der Prähilbertnorm sqrt(<x,x>)) in dem Raum stetiger Funktionen von R nach C. Das gilt aufgrund der Eigenschaften der Supremumsnorm, der Regelfunktionen und der Ordnungsisomorphie von Id^2.

Ich habe mir schon des öfteren dieses Zeug reingezogen. Ich glaube, solange ich mich nicht hinsetze und irgend eine Anwendung davon mache, komme ich auf keinen Nenner. Das rate ich dem @Vechs-Kollegen.
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 14 Apr 2005 - 10:10:51    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Lange nichts mehr von dir gehört Smile

Hab ne Zeitlang nur gelesen, aber nicht geschrieben (nur ein wenig im Physikforum), war im Urlaub, ne Krankheit kam dazwischen usw...

Zitat:
Korrigiere mich, wenn ich falsch liege, aber ein Prähilbertraum ist einfach ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt drauf. Das impliziert soweit nicht, daß die Basis abzählbar ist.

Mag sein, dass dafür noch die Vollständigkeit gefordert werden muss, es also wirklich ein Hilbertraum sein muss. In Hilberträumen sind jedenfalls alle ONB abzählbar wegen der Isomorphie zu l_2(N). Ah ja, genau: l_2(N) ist ja vollständig, also wird der Beweis wohl nur bei Vollständigkeit funktionieren. In Prähilberträumen gilt es also nicht, in Hilberträumen schon, sorry. Embarassed

Zitat:
Der Vektorraum aufgespannt von den Basisvektoren X_n ist ein Prähilbertraum (als Teilraum eines Prähilbertraumes) und liegt dicht (bezüglich der Prähilbertnorm sqrt(<x,x>)) in dem Raum stetiger Funktionen von R nach C. Das gilt aufgrund der Eigenschaften der Supremumsnorm, der Regelfunktionen und der Ordnungsisomorphie von Id^2.

Das hab ich so jetzt nicht verstanden und kenne eigentlich eher eine andere Begründung für die Dichtheit (Satz von Fejér ist da entscheidend). Und was meinst du mit Id^2? Confused
Vechs
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Anmeldungsdatum: 22.03.2005
Beiträge: 30

BeitragVerfasst am: 15 Apr 2005 - 14:52:19    Titel:

Hallo nochmal,
ich soll die Fourier-Reihen erklären können und a0 an und bn bestimmen. An sich geht es eher allgemein um die Berechnung der Koeffizienten. Das Grundwissen quasi.
Worauf muss ich dabei alles achten, wo liegen die Schwerpunkte bei den Fourier Reihen usw.
Bin für sämtliche Tips und Tricks offen Wink

mfg, Vechs
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 15 Apr 2005 - 18:30:43    Titel:

Zitat:
ich soll die Fourier-Reihen erklären können


Die Reihe selbst stellt, wie oben angedeutet, eine unendliche Linearkombination von Basisfunktionen und beschreibt auch eine Funktion. Diese liegt dicht in dem Raum der z.B. 2Pi periodischen stetigen Funktionen. D.h. mit der Reihe kommst Du "unendlich nahe" an jede 2Pi periodische stetige Funktion. Und zwar "nahe" bzgl. z.B. der Supremumsnorm. D.h. wenn Du eine 2Pi-periodische Funktion hast, so kannst Du bei der Vorgabe einer epsilon-Schranke durch Abbrechen der Reihe an einer geeigneten Stelle in einen Supremums-Epsiolon-Schlauch um die gegebene Funktion kommen (die abgebrochende Reihe hat den Supremumsabstand kleiner epsilon). Das ist nützlich um eine periodische Funktion durch sin und cos zu approximieren.

Zur Berechnung der Koeff. gibt es einen Satz in dem die Berechnungsvorschriften von a_n und b_n stehen. Diese muß man einfach ausrechnen.

@physikus: Ich kann dir den Beweis der Dichtheit per Hand hinschreiben, der ist nich schwer. Id^2 ist einfach die f(x) = x^2 und die ist für positive reelle Zahlen ein Ordnungsiso. (mein Lieblingswort Smile ).
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