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lokale Extremstellen
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Madde89
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Anmeldungsdatum: 21.09.2008
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 21 Sep 2008 - 11:52:16    Titel: lokale Extremstellen

Hi,

bei mir gehen so langsam die Prüfungen los und ich habe Aufgaben bekommen die zu lösen sind, jedoch lang lang ists her^^
Also mir fehlt jeglicher Ansatz, wäre über einen Lösungsweg mit hinweisen versehen sehr dankbar. Damit ich es Nachvollziehen kann.

Aufgabe:

f(x) = -1/2 x^4 + 3x^2

Der Graph der Funktion f besitzt genau drei lokale Extremstellen.
Berechnen Sie diese Extremstellen ohne Verwendung von Näherungswerten.


MfG

Mathias
dariane
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Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 322

BeitragVerfasst am: 21 Sep 2008 - 12:01:10    Titel:

Du suchst die Extremstellen - also den höchsten oder tiefsten Punkt deiner Funktion.
Was weiß man über einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt? - Dass die Tangente durch diese Punkte die Steigung 0 hat. (Die sind parallel zur x-Achse).

Die 1. Ableitung der Funktion ist die Steigungsformel für die Steigung der Tangente an jeden beliebigen Punkt der Kurve.

Also f'(x) = Steigung

Wenn du nun für f'(x) Null einsetzt, so erhältst du die x-Werte jener Punkte, an denen die Tangente die Steigung 0 hat. Also die x-Werte der Hoch- bzw. Tiefpunkte ( oder auch der Sattelpunkte - aber das braucht dich im Moment nicht zu interessieren).

Bilde die 1. Ableitung deiner Funktion und setze sie 0.

lg, dari
Madde89
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Anmeldungsdatum: 21.09.2008
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 21 Sep 2008 - 12:17:15    Titel:

okay da hab ich raus:

0= -2x^3 + 6x
dariane
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Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 322

BeitragVerfasst am: 21 Sep 2008 - 12:20:40    Titel:

Stimmt - jetzt nur noch nach x auflösen.
Und das machst du, indem du heraushebst und dadurch eine Multiplikation schaffst, die 0 ergibt.
Eine Multiplikation ergibt nur dann 0, wenn entweder der 1. Faktor oder der 2. Faktor Null war. Also beide einzeln Null setzen und berechnen.

lg, dari
Madde89
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Anmeldungsdatum: 21.09.2008
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 21 Sep 2008 - 12:33:13    Titel:

Shocked ^^

okay, das is ja schon peinlich wenn man jetzt schon überforder ist Embarassed


du meinst jetzt aber nich zufällig die lösungen:

x= -2x^3/6 und x= 6x/-2 (davon noch die wurzel)


Neutral
dariane
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Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 322

BeitragVerfasst am: 21 Sep 2008 - 12:48:22    Titel:

Deine Lösungen sind doch keine Zahlen, da ist ja noch x drin. Du brauchst Zahlen als Lösung.

Also:

-2x³ + 6x = 0

-2x * ( x² - 3) = 0

entweder ist nun:

-2x = 0 ---> x1 = 0

oder:

x² - 3 = 0
und daraus folgt:

x² = 3
x2= + Wurzel aus (3)
x3 = - Wurzel aus (3)

N1 = (0 / 0)
N2 = ( Wurzel(3) / 0)
N3 = ( - Wurzel(3) /0)

lg, dari
Madde89
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Anmeldungsdatum: 21.09.2008
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 21 Sep 2008 - 13:00:08    Titel:

in der Schule hätte ich das gefühl gehabt das wir es anders gemacht haben, ist aber eigentlich zu verstehen. Bis auf die eine stelle.



oder:

x² - 3 = 0

und daraus folgt:

x² = 3
x2= + Wurzel aus (3)
x3 = - Wurzel aus (3)
dariane
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Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 322

BeitragVerfasst am: 21 Sep 2008 - 13:32:56    Titel:

Wurzel aus 9 ergibt 2 Lösungen, nämlich -3 und +3

Quadrier mal beide Lösungen und du wirst sehen, dass bei beiden 9 rauskommt. Also sind beide Lösungen.

x² = 9

x² setzt sich aus x1 * x2 zusammen.

x1 = + 3
x2 = -3

lg, dari
D.A.
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Anmeldungsdatum: 20.06.2008
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 21 Sep 2008 - 14:29:47    Titel:

Wenn du es so schreibst, heisst für x1= +3 und für x2= -3 und x²= x1*x2 müsste da ja stehen:
+3 * -3 = 9 , ist allerdings -9 .

Es ist aber glaube ich klar was du meinst.
3 * 3 = 9 und
-3*-3 = 9 .

Heisst für x²= 9 gibt es zwei Lösungen. Immer wenn du eine gerade Wurzel aus etwas ziehst gibt es zwei Lösungen einmal eine positive und eine negative. Kennt man zum Beispiel von der pq-Formel...
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