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Unterschied: bijektiv <-> isomorph
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Freunde der Sonne
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Anmeldungsdatum: 17.08.2008
Beiträge: 721
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 21 Sep 2008 - 14:08:57    Titel: Unterschied: bijektiv <-> isomorph

Wie die Überschrift schon sagt: Könnt ihr mir da ein Unterschied, z.B. anhand eines Beispieles, sagen?

Wikipedia spuckt für "Isomorphismus" folgendes aus:

Zitat:
Eine Funktion f zwischen zwei Strukturen heißt Isomorphismus, wenn:

* f bijektiv ist,
* f ein Homomorphismus ist,
* die Umkehrfunktion f -1 ein Homomorphismus ist.


Aber wenn man bei Homomorphismus guckt, sagt Wikipedia:

Zitat:
Ein Homomorphismus (...) ist eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen, durch die Teile der einen Struktur auf „bedeutungsgleiche“ Teile der anderen Struktur eindeutig abgebildet werden.


Aber dann ist doch ein Homomorphismus auch eine Bijektion und man dreht sich mit der Argumentation im Kreis, oder nicht?... Confused
Armin Gibbs
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Anmeldungsdatum: 06.02.2008
Beiträge: 992

BeitragVerfasst am: 21 Sep 2008 - 14:30:01    Titel:

Wo genau liest du ab, dass eine "strukturerhaltende Abbildung" bijektiv sein muss? Beispiel Gruppenhomomorphismus:

Du hast zwei Gruppen (G, +, 1) und (H, *, 1) gegeben.

f ist ein Gruppenhomomorphismus, wenn gilt

f(a+b) = f(a)*f(b)

Zitat:
Die Gleichung besagt, dass der Homomorphismus strukturerhaltend ist: Es ist egal, ob man erst zwei Elemente verknüpft, und das Ergebnis abbildet, oder erst die zwei Elemente abbildet, und dann die Bilder verknüpft.


Betrachte nun:

f: G -> H, x -> 1
Ist f Homomorphismus? Ist f bijektiv?
Freunde der Sonne
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Anmeldungsdatum: 17.08.2008
Beiträge: 721
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 21 Sep 2008 - 14:46:40    Titel:

Okay, cool, danke!

Vorausgesetzt natürlich das "1" das neutrale Element ist bzgl. der "*"-Verknüpfung.

Aber ich denke, dass wolltest du mit der Notation (H, *, 1) aussagen, oder? Bin nämlich mit der ganzen Notation noch nicht ganz so vertraut...
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 21 Sep 2008 - 15:05:00    Titel:

Aufbauend auf der Mengenlehre betrachtet man binäre Relationen [; R \subseteq A \times B ;] als Teilmengen des kartesischen Produktes zweier Mengen, also als eine Menge von Paaren.

> Wenn für jedes Element von B höchstens ein Paar in R vorkommt, welches dieses Element enthält, so ist die Relation linkseindeutig (injektiv).
> Wenn für jedes Element von B mindestens ein Paar in R vorkommt, welches dieses Element enthält, so ist die Relation rechtstotal (surjektiv).
> Wenn eine Relation sowohl injektiv, als auch surjektiv ist, dann ist sie bijektiv.

Du siehst: Hier wurde nirgens mit dem Begriff "Homomorphismus" und nicht mal mit "Funktion" oder "Abbildung" gearbeitet, obwohl die Bijektivität natürlich auf diese Dinge erweitert werden kann und wird. So ist eine Funktion bijektiv, wenn sie eindeutig umkehrbar ist, da alle Funktionswerte angenommen werden, aber keiner mehrfach.

Ein Homomorphismus ist eine Abbildung zwischen zwei algebraischen Strukturen. Das heißt im Prinzip, dass es eine Funktion ist, bei der Definitions- und Werte-Bereich zur gleichen Klasse von Mengen bzw. Strukuren gehören und ein gewisser Aufbau bei der Abbildung erhalten bleibt. Sollte diese Abbildung eindeutig umkehrbar sein, also bijektiv, so nennt man den Homomorphismus auch Isomorphismus.

So ist zum Beispiel die Abbildung [; f \ : \ \mathbb{N}^2 \ \to \ \mathbb{N} ;] mit [; f(n, m) = \frac{n+m}{2} \cdot (n+m+1) + m ;] ein Isomorphismus, denn f bildet jedes Paar natürlicher Zahlen umkehrbar eindeutig auf eine natürliche Zahl ab (siehe Cantor'sches Diagonal-Argument).

Anderes Beispiel: Eine beliebig lange Folge von Einsen und Nullen lässt sich in eine natürliche Zahl konvertieren:

[; \operatorname{convert} \ : \ \mathbb{F}_2 ^* \ \to \ \mathbb{N} ;] mit [; \operatorname{convert} \left( b_0, b_1, b_2, \ldots \right) = \sum_{k=0}^{\infty} \left( b_k \cdot 2^k \right) ;]

Dass das auch eindeutig umkehrbar ist, sollte klar sein.
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