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parabeln!
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raffnix&schnallnix
Gast






BeitragVerfasst am: 14 Apr 2005 - 16:27:37    Titel: parabeln!

kann uns jemand diese aufgabe berechnen?müssen montag ein referat drüber halten!

die parabelpaare (p1;p2) mit
p1: fa(x)= 4-a * x² und
p2: fa(x)= 1/a * x²

schließen jeweils eine Fläche ein. Für welches a nimmt diese Fläche den größten Wert an?

bitte helft uns(PANIK) Danke!
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Gast






BeitragVerfasst am: 14 Apr 2005 - 20:43:21    Titel:

fa(x) = 4 - a*x² und
ga(x) = 1/a*x²
gleich sieht man, dass a>0 sein muss, sonst geht fa(x) nach oben und ga(x) nach unten und sie können keine Fläche einschließen.

Schnittpunkt der Parabeln:
fa(x) = ga(x)
4 - a*x² = 1/a*x²
4a - a²*x² = x²
x²(1+a²) = 4a
x² = 4a/(1+a²)
x = ± 2*wurzel(a/(1+a²))

Umbenennung: wurzel(a/(1+a²)) = u

Die gesuchte Fläche ist die Fläche zwischen den Kurven für x von -2u bis 2u
Da beide Funktionen achsensymmetrisch sind, ist die Fläche A = 2*(Fläche von 0 bis 2u)

A = 2*INTEGRAL [fa(x) - ga(x)]dx = 2*INTEGRAL [4 - a*x² - 1/a*x²]dx = 2*INTEGRAL [4 - (a²+1)/a*x²]dx

F(x) = 4x - (a²+1)/a*x³/3 = 4x - 1/u²*x³/3 , Stammfunktion

A(u) = 2*(4*2u - 1/u²*(2u)³/3) - 0 = 2*(8u - 8/3*u) = 32/3*u

A(a) = 32/3*wurzel(a/(1+a²))

A'(a) = 32/3*1/[2*wurzel(a/(1+a²))]*(a/(1+a²))' = 32/3*1/[2*wurzel(a/(1+a²))]*[(1-a²)/(1+a²)²]

A'(a) = 0

1-a² = 0

a = 1
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