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Vergleichen Sie die Differentialgleichungen
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Foren-Übersicht -> Physik-Forum -> Vergleichen Sie die Differentialgleichungen
 
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baje
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Anmeldungsdatum: 25.06.2006
Beiträge: 117

BeitragVerfasst am: 02 Okt 2008 - 19:00:01    Titel: Vergleichen Sie die Differentialgleichungen

Hallo
Ich habe hier 2 Aufgaben bei denen ich nicht weitekomme!

1. Fahrradkette auf der Tischkante mit der Masse M und der Länge L. Herunterhängendes Teilstück x_0 (Reibung vernachlässigen). Finde Bewegungsgl. x(t)

2. Federpendel ohne Reibung mit der Masse m, 2 Federn mit je Federkonstante D. Die Masse werde nach x_0 ausgelenkt. Leiten Sie die Schwingungsgl. x(t) her.

Meine Aufgabe ist es, beide Aufgaben gleichzeitig zu lösen.

Ich habe bis jetzt:

2. Abl. von x(t)=g/L * x(t) Bewegungsgl. von 1. Aufg.
2. Abl. von x(t)=-D/m * x(t)

g/L=-D/m

ich weiss, dass man jetzt substituieren kann und für die 2. Aufg. die Eulersche Identität verwenden, aber ich weiss einfach nicht weiter.

Kann mir jemand helfen??

Danke
Gruss
baje
Martin67
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Anmeldungsdatum: 16.12.2006
Beiträge: 1389

BeitragVerfasst am: 02 Okt 2008 - 20:21:01    Titel:

Hallo,

bei beiden DGL's handelt es sich um Differentialgleichungen zweiter Ordnung, jedoch haben sie einen feinen Unterschied.

Durchleuchten wir die Erste!
Betrachten wir einen bestimmten Punkt von x(t).

Dann gilt: F(t)=g*m/L*x(t). Die Beschleunigung a(t) ist demnach F(t)/m damit erhalten wir für a(t)=g/L*x(t)

a(t)=dv/dt =d²x/dt² =x''(t)

Damit können wir die DGL aufstellen x''(t)-g/L*x(t)=0

Wir bringen in die Form p²+0*p-g/L=0 und erhalten somit die Nullstellen +-sqrt(g/L).

Daraus finden wir die allgemeine Lösung der DGL:
x(t)=C1*e^(sqrt(g/L)*t)+C2*e^(-sqrt(g/L)*t)

Mit den Anfangswerten x(0)=x0 und v also x'(0)=0 ehalten wir dann die Gleichung:
C1+C2=x0
C1-C2=0
C1=x0/2
C2=x0/2


Damit haben wir die Lösung: x(t)=x0/2*(e^(sqrt(g/L)*t)+e^(-sqrt(g/L)*t))

Versuch jetzt mal die Zweite zu lösen!
baje
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Anmeldungsdatum: 25.06.2006
Beiträge: 117

BeitragVerfasst am: 02 Okt 2008 - 20:53:06    Titel:

Ich verstehe nicht ganz wie du auf die Nullstelle kommst, der Rest ist dann für mich nachvollziehbar.

Muss ich p²+0*p+D/M=0 rechnen für die 2. Gleichung, um die Nullstellen zu erhalten? Mir ist aber nicht klar, was das p² ist.
ein Stein!
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Anmeldungsdatum: 12.11.2005
Beiträge: 2193

BeitragVerfasst am: 02 Okt 2008 - 22:13:54    Titel:

Hallo,
auf die Gleichung kommst du, wenn du den allgemeinen Ansatz x(t)=e^p*t in die DGL einsetzt. dann bekommst du die zwei Werte für p und damit zwei Lösungen für x(t). die allgemeine Lösung ist dann ne Linearkombination der einzellösungen.
baje
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Anmeldungsdatum: 25.06.2006
Beiträge: 117

BeitragVerfasst am: 02 Okt 2008 - 22:24:28    Titel:

Ich stehe noch auf der Leitung...

Ich weiss nicht, wie man daraus die Nullstellen berechnet:
x''(t)-g/L*x(t)=0

Das übrige ist soweit klar.
Martin67
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Anmeldungsdatum: 16.12.2006
Beiträge: 1389

BeitragVerfasst am: 03 Okt 2008 - 06:40:10    Titel:

Hallo,

hier ist es beschrieben, für das Lambda habe ich p gewählt, weil es einfacher hier zu schreiben ist.

http://statmath.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node185.html
Knalltüte
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Anmeldungsdatum: 31.08.2007
Beiträge: 2932
Wohnort: gleich um die Ecke

BeitragVerfasst am: 03 Okt 2008 - 10:29:25    Titel:

@baje: wie ist denn die Aufgabe mit der Fahrradkette gemeint? Soll diese nur schwingen, soll man sie als dünnen Stab betrachten oder was passiert da genau?

@Martin67: es soll gelten x''(t) - g/L * x(t) = 0, das hieße bei einer Koordinate von x > 0 hätte man x'' = g/L * x > 0, also würde die x-Koordinate ins unendliche wachsen, ist das beabsichtigt? Oder ist bei dir g < 0?
baje
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Anmeldungsdatum: 25.06.2006
Beiträge: 117

BeitragVerfasst am: 03 Okt 2008 - 12:58:13    Titel:

die kette soll herunterfallen, nicht schwingen.
Ich habe inzwischen alles lösen können.
Super, danke für eure Hilfe
Lg baje
Martin67
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Anmeldungsdatum: 16.12.2006
Beiträge: 1389

BeitragVerfasst am: 03 Okt 2008 - 14:05:50    Titel:

Knalltüte hat folgendes geschrieben:

@Martin67: es soll gelten x''(t) - g/L * x(t) = 0, das hieße bei einer Koordinate von x > 0 hätte man x'' = g/L * x > 0, also würde die x-Koordinate ins unendliche wachsen, ist das beabsichtigt? Oder ist bei dir g < 0?


Ja,

wenn die Kette unendlich lang ist und der Platz nach unten ebenfalls, sowie ein paar Naturgesetze vernachlässigt, ist es tatsächlich so, dass x unendlich wird.
Knalltüte
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Anmeldungsdatum: 31.08.2007
Beiträge: 2932
Wohnort: gleich um die Ecke

BeitragVerfasst am: 03 Okt 2008 - 15:56:12    Titel:

ah ok, dachte die Kette sollte schwingen (wegen des Vergleichs der DGL, so wie es im thread-titel steht)
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