Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Analysis - Problem bei vollständiger Induktion
Gehe zu Seite 1, 2  Weiter
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Analysis - Problem bei vollständiger Induktion
 
Autor Nachricht
mr. dumb
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 20.08.2007
Beiträge: 241

BeitragVerfasst am: 17 Okt 2008 - 09:57:36    Titel: Analysis - Problem bei vollständiger Induktion

Hallo,

ich habe als Aufgabe gegeben:
n ∈ N
Σ (n; k=1) k² = (1/6)*n* (n+1)*(2n+1)

Ich soll hierauf die vollständige Induktion zur Beweisführung anwenden.

Doch wie fange ich an? (eine Zeile wird mir wohl schon weiterhelfen - möchte nicht die ganze Rechnung ^^ Will's hauptsächlich begreifen ;_: )

Wäre über Hilfe dankbar.
KayC
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 18.08.2008
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 17 Okt 2008 - 10:05:24    Titel:

Woran hapert es denn? Und wie weit bist du gekommen? Hast Du die Aussage schon für n= 1 bewiesen?

lg, Katharina
mr. dumb
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 20.08.2007
Beiträge: 241

BeitragVerfasst am: 17 Okt 2008 - 10:19:39    Titel:

Nein, denn ich habe den Beweis mit Hilfe der Induktion einfach nicht verstanden. Ich kenne also nicht mal den Ansatz der Beweisführung.

Ich hab mir den Wiki-Artikel sowie http://www.mathematik.de/mde/fragenantworten/erstehilfe/induktion/induktion.html
durchgelesen.

Werde aus den Beispielen jedoch nicht schlau.
Tiamat
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 17 Okt 2008 - 10:28:38    Titel:

Ich versuchs mal:

Mit einer Induktion kannst du Aussagen beweisen, in denen eine natürliche Zahl (meistens n) als Variable vorkommt und die für alle natürlichen Zahlen gelten sollen. In der einfachsten Form sind dies Gleichungen, so wie in deiner Aufgabe. Die Strategie ist nun die: Zuerst zeigst du, dass die Gleichung für ein ganz bestimmtes n richtig ist, meistens nimmt man hier 0 oder 1. Das heißt, einfach einsetzen und gucken, ob rechte und linke Seite der Gleichung übereinstimmen.

Dann nimmst du die Gleichung für ein festes, aber beliebiges n als bewiesen an (du könntest ja jede natürliche Zahl einsetzen und nachprüfen, deshalb nimmst du jetzt irgendeine beliebige). Dann versuchst du zu zeigen, dass die Gleichung für den Nachfolger dieser Zahl, also n+1, ebenfalls richtig ist.

Dabei gehst du wie folgt vor:
Du ersetzt auf der linken Seite der Gleichung (die mit dem Summenzeichen) alle n durch n+1. Dann trennst du die linke Seite so auf, dass du einen Teil hast, der bis n läuft und einen Restteil. In unserem Fall bedeutet dies, dass wir die Summe bis n+1 in eine Summe bis n und den (n+1)-ten Summanden aufteilen.

Auf die Summe bis n wendest du nun die Induktionsvoraussetzung an, denn du weißt ja, dass für dieses n die Gleichung erfüllt ist, also kannst du die Summe bis n durch die rechte Seite der Gleichung ersetzen.
Du hast nun also die rechte Gleichungsseite + den (n+1)-ten Summanden. Diesen Ausdruck formst du nun noch so um, dass am Ende möglichst ein Ausdruck dasteht, der der ursprünglichen rechten Seite der Gleichung entspricht, nur mit (n+1) statt n.

Hilft dir das weiter?
Shubi
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 21.07.2008
Beiträge: 1193

BeitragVerfasst am: 17 Okt 2008 - 10:29:39    Titel:

Nun, dann wollen wir doch mal:

Stell dir die natürlichen Zahlen einmal als lange Kette von Dominosteinen vor.

Die vollständige Induktion sagt jetzt: Angenommen du kannst etwas für ein bestimmtes n_0 beweisen und von einem beliebigen n auf ein n+1 schließen, dann stößt du den ersten Stein um. Damit fällt aber auch der zweite und sofort der dritte etc.

Du zeigst also: Die Aussage ist für ein (möglichst kleines) n_0 wahr. Danach betrachtest du ganz allgemein den Fall n. Dann versuchst du die Aussage auf den Fall n+1 zu überführen.

Edit:

Ok, das Beispiel spar ich mir dann Very Happy
mr. dumb
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 20.08.2007
Beiträge: 241

BeitragVerfasst am: 17 Okt 2008 - 10:32:41    Titel:

Ich danke euch beiden. Ich hab gleich noch 'ne Info-Übungsgruppe und dann versuch ich's zu Hause noch einmal. Sollte ich noch Probleme haben, kann ich ja dann konkretisieren. Der Thread verschwindet ja nicht Wink

Danke

lg
mr. dumb
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 20.08.2007
Beiträge: 241

BeitragVerfasst am: 17 Okt 2008 - 12:42:55    Titel:

Also, ich habe nun
n=1 gesetzt

Σ (n=1; k=1) k² = (1/6)*n* (n+1)*(2n+1)

1² = (1/6)*1*(1+1)*(2*1+1)

1 = 1


Setze ich aber n=0
Σ (n=0; k=1) k² = (1/6)*n* (n+1)*(2n+1)

dann
1=0

Was ja nicht stimmt.

-----------------
Wenn ich für n, statt 1, n+1 einsetze, komme ich auf folgende Gleichung:

k²= 1/6 * (2n³ + 9n² + 10n + 6),
was mich ja auch nicht weiterbringt.


:/
Shubi
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 21.07.2008
Beiträge: 1193

BeitragVerfasst am: 17 Okt 2008 - 13:10:05    Titel:

1. 0 ist keine natürliche Zahl! Schau dir die Definition der natürlichen Zahlen an Wink

2. Nu, es ist nicht sinnvoll auszuklammern. Außerdem: Du sollst ja darauf schließen. Ich mach dir mal die erste Zeile:

Σ (n=1; k=1) k² = (1/6)*n* (n+1)*(2n+1)

Schluss auf n+1:

Σ (n=n+1; k=1) k²=Σ (n=1; k=1) k²+(n+1)²

Mit nehmen jetzt ja für beliebiges n die Korrektheit der Formel
Σ (n; k=1) k² = (1/6)*n* (n+1)*(2n+1) an. Wir können also oben einsetzen:

Σ (n+1; k=1) k²=(1/6)*n* (n+1)*(2n+1) +(n+1)²

Und wenn du das zu der Aussage
Σ (n+1; k=1) k² = (1/6)*(n+1)* (n+2)*(2(n+1)+1) umformen kannst, hast du den Induktionsschritt korrekt durchgeführt Wink Denn dann steht da am Ende die Gleichung

Σ (n=n; k=1) k²=(1/6)*n* (n+1)*(2n+1) an der Stelle n:=n+1.
Jonsy
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 11.02.2007
Beiträge: 3098

BeitragVerfasst am: 17 Okt 2008 - 13:26:44    Titel:

Nun, ob 0 eine natuerliche Zahl ist, darueber ist man sich ja uneinig (wobei ich derselben Meinung bin). Jedoch funktioniert es auch fuer n=0 in diesem Fall. Verstehe nicht, wie du da auf 1=0 kommst.

Jonsy
Stefan1112
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 25.07.2008
Beiträge: 181

BeitragVerfasst am: 17 Okt 2008 - 13:33:07    Titel:

Shubi hat folgendes geschrieben:
1. 0 ist keine natürliche Zahl! Schau dir die Definition der natürlichen Zahlen an Wink


Das entscheidet immer noch der Prof. Cool
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Analysis - Problem bei vollständiger Induktion
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu Seite 1, 2  Weiter
Seite 1 von 2

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum