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Differentialgleichung "Freier Fall mit Luftwiederstand&
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armer Schüler
Gast






BeitragVerfasst am: 16 Apr 2005 - 11:39:09    Titel: Differentialgleichung "Freier Fall mit Luftwiederstand&

hi!
Wer kann mir zum Thema "Fallschirmsprung"/ "Freier Fall" helfen?

auf:

http://www.eng.monash.edu.au/uicee/gjee/vol6no3/Teschke.pdf

(ab Seite 6!) bin ich auf eine gute Möglichkeit gestoßen, leider kann ich nicht so ganz alle Rechenschritte nachvollziehen Sad
Wäre super, wenn einer, der sich damit auskennt, mit die Zwischenschritte möglichst komplett und ausführlich aufschreiben könnte!

dv/dt= g- k/m *v² ist mir noch klar, aber wie komme ich auf:

1/g * dv/(1- (k/k/m*g)*v²) = dt und dann auch noch zur allgem. Lösung?

Schaut doch einfach mal auf die Page und versucht mir zu helfen!- Ist wirklich wichtig!!!!
Tausend Dank allen, die sich die Mühe machen!!!!!!
Icealater
Moderator
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Moderator


Anmeldungsdatum: 10.03.2005
Beiträge: 532

BeitragVerfasst am: 16 Apr 2005 - 12:31:16    Titel:

Hi,

schau mal

dv / dt = g - kv^2 / m

dv / dt = mg^2 / mg - gkv^2 / mg

das war schon der Trick!!!! .....auf beiden Seiten mal eins, aber die eins in Form eines Bruches mg/mg

dv / dt = (mg^2 - gkv^2) / mg

dvmg / dt = mg^2 - gkv^2

dvmg / dt = g (mg -kv^2)

dvmg = dtg (mg - kv^2)

dvmg = dtmg^2 - dtgkv^2

dvmg = dt (mg^2 - gkv^2)

dvmg / (mg^2 - gkv^2) = dt

1/g * dv/1 * mg/(mg - kv^2) = dt

oder so dann siehst du es vielleicht besser

1/g * dv/1 * (mg/mg - mg/kv^2) = dt

1/g * dv/1 * (1/1 - mg/kv^2) = dt

1/g * dv * (1 - mg/kv^2) = dt

dass kann man dann auch als Doppelbruch schreiben

1/g * (dv / 1 - kv^2/mg) = dt

mfg Icealater
armer Schüler
Gast






BeitragVerfasst am: 18 Apr 2005 - 10:02:36    Titel:

Daaankee... das ist echt super!!!! Very Happy

Eine Frage habe ich aber noch... :-/ -wie kommt man von:

1/g * dv/(1- k/m*g *v²) =dt

zu

v(t)= wurzel aus(m*g/k) *tanh * wurzel aus(g*k/m *t)
Gast xyz
Gast






BeitragVerfasst am: 19 Apr 2005 - 10:59:15    Titel:

das problem liegt im ausdruck

(1) dv/(1- k/m*g *v²)

Es sei a eine Konstante für die gilt:

a²:=(k/(mg)) . Dann wird aus (1)

(2) dv/(1- a² *v²)

(3) u := a*v und damit du = a*dv

Eingesetzt in (2)

(4) (1/a)* du/(1-u²)

du/(1-u²) = arctanh(u)

Die Stammfunktion von (2) ist also (1/a)*arctanh(a*v) bzw. in den ursprünglichen Größen geschrieben

(1/wurzel(k/mg))*arctanh(v*wurzel(k/mg))

Aus deiner gleichung

1/g * dv/(1- k/m*g *v²) =dt

wird

(5) (1/g)*(1/wurzel(k/mg))*arctanh(v*wurzel(k/mg)) = t+t0

Jetzt (5) nur noch nach v auflösen

(1/wurzel(k/mg))*tanh(g*(t+t0)*wurzel(k/mg))
armer Schüler
Gast






BeitragVerfasst am: 19 Apr 2005 - 13:48:08    Titel:

Danke!

eine winzige Frage noch:

entspricht -> v(t)= wurzel aus(m*g/k) *tanh * wurzel aus(g*k/m *t)

dem-> (1/wurzel(k/mg))*tanh(g*(t+t0)*wurzel(k/mg))

Ich meine ist das einfach nur anders aufgeschrieben??? Question
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